Логические функции и логические уравнения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Курсовая работа
Логические функции и логические уравнения
Введение
Математика является наукой, в которой все истины доказываются с помощью умозаключений.
В логических теориях описываются процессы умозаключений и законы мышления, которые позволяют из истинности одних суждений делать заключения об истинности или ложности других суждений.
Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны Г.В.Лейбницем в конце 17 столетий. Им были заложены основы для алгебраизации логики и построения логических исчислений. Он говорил: Мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для того, чтобы облегчить сам процесс нашего мышления.
С помощью математической логики решаются проблемы, выясняющие общие свойства математических теорий (например, проблемы непротиворечивости, полноты, разрешимости и др.).
Целью и задачей работы является рассмотрение элементов алгебры логики, логических функций и логических уравнений, а так же их решения, построением таблицы истинности и с помощью метода упрощения и разложения на части.
При этом предполагается, что вывод зависит только от способа связи входящих в него утверждений и их строения, а не от их конкретного содержания.
1.Алгебра логики
Алгебра логики - это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.
Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний.
1.1 Логическая переменная
Логическая переменная в алгебре логики может принимать одно из двух возможных значений: TRUE - истина, FALSE - ложь. Эти значения в цифровой технике принято рассматривать как логическую "1" (TRUE) и логический "0" (FALSE), или как двоичные числа 1 и 0.
1.2 Функции в алгебре логики
Логическая функция - это функция логических переменных, которая может принимать только два значения : 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения : 0 или 1.
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической функцией.
1.3Логические операции
???ОтрицаниеКонъюнкцияДизъюнкцияИмпликацияЭквивалентность
1.4 Законы алгебры логики
В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений:
ЗаконИЛИИПереместительный (Коммутативный) Сочетательный (Ассоциативный) Распределительный (Дистрибутивный) Правила де МорганаИдемпотенцииПоглощенияСклеиванияОперация переменной с ее инверсиейОперация с константамиДвойного отрицания
Формулы склеивания (закон исключения)
Формулы поглощения
Решение логических функций и уравнений
Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:
средствами алгебры логики;
табличный;
с помощью рассуждений.
В курсовой работе рассматриваются только первые два случая решения задач.
Обычно используется следующая схема решения:
1.изучается условие задачи;
2.вводится система обозначений для логических высказываний;
.конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
.определяются значения истинности этой логической формулы;
.из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.
Пример 1.
Является ли функция тождественно истинной?
Решение. Решить данную задачу можно двумя способами.
Первый способ - минимизация логической функции.
Избавимся от операций импликации и эквивалентности, заменив эти операции на комбинацию конъюнкции, дизъюнкции и инверсии.
Последовательно несколько раз применим формулы поглощения
.
Следовательно, данная функция не является тождественно-истинной.
Второй способ - построение таблицы истинности. У тождественно-истинной функции в последнем столбце таблицы истинности должны стоять все единицы.
У функции три переменные, следовательно, количество строк в таблице 23= 8. Подсчитаем количество операций и установим порядок их выполнения.
Пять логических операций, следовательно, количество столбцов в таблице истинности - 3+5=8.
0000111100101101010100100111010110010010101101011101001011110101
Анализ построенной таблицы показывает, что существует набор входных переменных, при котором функция равна 0. Следовательно, данная функция не является тождественно-истинной.
Пример 2.
Условие изменения логической функции при одновременном изменении аргументов .
Решение: Дана логическая функция от трех переменных
.
Изменим одновременно переменные :
.
Постоим таблицу истинности для двух функций:
00011000101100