Критерій відношення правдоподібності для великих вибірок
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?рністю( за розподілом ) до середнього значення
Таким чином, матриця граничних значень коефіцієнтів квадратичної форми у (3) співпадає з інформаційною матрицею . Звідси слідує, що випадковий вектор має в границі такий же розподіл, як і нормальний випадковий вектор Таким чином, права частина (3) має в границі такий розподіл, як і квадратична форма . Тоді . Звідки і випливає співвідношення (2). Теорему доведено.
Розглянемо важливий приклад застосування викладених результатів до поліноміального розподілу
Приклад( метод відношення правдоподібності для поліноміального розподілу). Нехай проводяться незалежні випробування, в кожному з яких реалізується один із можливих наслідків , тобто спостерігається випадкова величина , що приймає значення (, якщо наступила подія ). Позначимо через вектор ймовірностей цих подій( ) і через вектор частот реалізацій відповідних наслідків в випробуваннях( ). Як відомо, розподіл вектора має поліноміальний розподіл . Припустимо тепер, що ймовірності подій невідомі і потрібно перевірити гіпотезу де заданий вектор, що задовольняє умовам: . Альтернативна гіпотеза має вигляд .
Тут роль параметра відіграє вектор , але оскільки на значення параметрів накладена вимога , то бажано позбутись цього обмеження, виключивши, наприклад,. Таким чином, надалі покладаємо і .
Оцінками максимальної правдоподібності для параметрів є відносні частоти реалізацій відповідних подій, тобто , тому в даному випадку статистика відношення правдоподібності має вигляд:
Звідси
Якщо справедлива гіпотеза , то в границі при ця статистика має розподіл , тому при заданому рівні значущості критичну границю вибирають рівною . Тоді критична множина матиме вигляд: , причому критична точка визначається із співвідношення:
Тому, якщо
то гіпотеза відхиляється( тобто вона не узгоджується із статистичними даними проведеного експерименту, і ймовірність того, що ми відхиляємо правильну гіпотезу не перевищує значення ), у протилежному випадку приймається.
Приклад 2(метод відношення правдоподібності для перевірки значень параметрів нормального розподілу)
Розглядається вибірка з нормального розподілу. Потрібно перевірити гіпотезу про значення параметрів нормального розподілу за двосторонньої альтернативи. А саме, , альтернативна гіпотеза. Обчислимо статистику критерію. Для цього знайдемо функцію правдоподібності для нормального розподілу . Тоді
.
Звідси,
Тут,. Тому статистика критерію матиме вигляд:
.
У наступному розділі ми більш детально розглянемо застосування критерію відношення правдоподібності для великих вибірок до перевірки статистичних гіпотез.
3. Приклади застосування критерію відношення правдоподібності для великих вибірок
Розглянемо декілька прикладів на застосування розглянутого критерію.
Приклад 1. Кількість бракованих деталей у партії не повинна перевищувати . У результаті контролю 100 деталей із цієї партії виявлено 6 бракованих. Чи можна вважати, що відсоток браку рівний при ?
Розвязання. Для розвязку задачі застосуємо критерій відношення правдоподібності для великих вибірок. Нехай ймовірність браку деталі, ймовірність того, що деталь справна,. - припущення про параметр розподілу. Отже, перевіримо просту гіпотезу , тоді альтернативна гіпотеза тут У нашому випадку , тоді статистика критерію
Для заданого рівня значущості знаходимо критичну точку ( див. Додаток А). Отже, отримали, що при даній реалізації вибірки статистика критерію отримала значення , яке менше критичного значення , тобто гіпотеза приймається, а тому відсоток браку можна вважати таким, що рівний .
Приклад 2. Гральний кубик підкинули 600 разів, при цьому шестірка випала 75 разів, пятірка 118, четвірка 124, трійка 108, двійка 92 і одиничка - 83. Чи можна вважати, що кубик симетричний і однорідний? Прийняти
Розвязання. У цій задачі невідомий параметр, причому , Тоді . Гіпотеза , альтернатива . Знайдемо значення статистики критерію
Критична точка . Оскільки, то гіпотеза відхиляється, тому не можна вважати, що кубик симетричний і однорідний.
Приклад 3. Метод одержання випадкових чисел був застосований 250 разів, при цьому отримали наступні результати:
Цифра0123456789Частота появи27182331212328252232
Чи можна вважати, що застосований метод дійсно генерує випадкові числа? Покласти Розвязання. Згідно умови задачі, невідомий параметр, , Тоді . Гіпотеза , альтернатива . Знайдемо значення статистики критерію:
Критична точка множини . Отже, , тому гіпотеза приймається. Тому можна вважати, що застосований метод справді генерує випадкові числа.
4. Опис програми
Призначення програми. Використовуючи програму, код модуля якої наведений у додатку B, можна розвязувати задачі на узгодженість простої параметричної гіпотези із реалізаціями великих вибірок. Перевірка узгодженості проводиться на основі критерію відношення правдоподібності для великих вибірок. Умови застосування. Програма коректно працює на IBM сумісних компютерах з такими характеристиками: Celeron 2.26/MB ASUS P4VM-800 /DDR 1.5Gb PC3200/ HDD 330 Gb 7200 rpm/ Radeon 9250 128/128, під операційною системою Windows XP Professional SP3 із встановленим програмним забезпеченням середовищем розробки - Delphi 7.
Опи?/p>