Критерій відношення правдоподібності для великих вибірок
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?ої величини клас розподілів цієї випадкової величини. Статистикою називають будь-яку випадкову величину, що залежить лише від вибірки . Статистика називається оцінкою невідомого параметра розподілу , якщо для кожної реалізації вибірки значення приймається за наближене значення параметра . Статистика називається незміщеною оцінкою параметра , якщо (тут - це математичне сподівання, тобто , якщо випадкова величина має неперервну функцію розподілу( у цьому випадку у точках існування похідної, і називається функцією щільності ), і у дискретному випадку( тобто набуває не більш, ніж зліченної кількості значень відповідно з ймовірностями , не більш, ніж зліченна множина і )). Позначимо через клас незміщених оцінок для параметра . Тоді, оптимальною оцінкою параметра називається така статистика , що
де і називається дисперсією випадкової величини .
Нехай щільність розподілу випадкової величини ( або ймовірність у дискретному випадку), вибірка з розподілу ( тобто всі мають розподіл і є незалежними випадковими величинами), реалізація вибірки. Функція є щільністю розподілу випадкового вектора . Якщо розглядається при фіксованому значенні , то така функція параметра називається функцією правдоподібності. Оцінкою максимальної правдоподібності невідомого параметра називається таке значення , при якому для заданого .
Статистичною гіпотезою( або просто гіпотезою) називають будь-яке твердження щодо виду чи властивостей розподілу спостережуваної випадкової величини. Статистичні гіпотези надалі позначатимемо так: . Статистичною параметричною гіпотезою називається припущення про значення невідомого параметра розподілу Наведемо приклади параметричних гіпотез:
де взагалі кажучи, деяка векторна функція , стала.
В загальному випадку параметрична гіпотеза задається деякою підмножиною
, до якої, за припущенням, належить невідомий параметр . Тоді параметрична гіпотеза записується так: . Альтернативна гіпотеза має вигляд: ; точки називаються альтернативами. Якщо множина містить лише одну точку, то гіпотезу( альтернативу ) називають простою; у протилежному випадку гіпотезу( альтернативу) називають складною.
Правило, згідно якого висунута гіпотезаприймається або відкидається, називається статистичним критерієм( або просто критерієм) перевірки гіпотези .
Нехай вибірка з розподілу і висунута параметрична гіпотеза ( може бути як скаляром, так і вектором і надалі будемо вважати його вектором, якщо не обумовлено протилежне). Потрібно визначити чи узгоджується запропонована гіпотеза із результатами проведеного експерименту. У такому випадку поступають наступним чином: будують таке правило( критерій), яке дозволяє на основі отриманих реалізацій вибірки зробити висновок: прийняти гіпотезу чи відхилити її( прийняти альтернативу ). Отже, критерій розбиває вибірковий простір на дві множини такі, що , де складається із тих точок, для яких гіпотеза приймається, а множина із точок, для яких відхиляється. Множина називається областю прийняття гіпотези, а множина називається областю відхилення гіпотези, або критичною областю.
У процесі перевірки гіпотези можна прийти до правильного висновку або допустити помилку першого роду відхилити , коли гіпотеза вірна, чи помилку другого роду прийняти , коли вона хибна.
Ймовірності цих двох помилок можна виразити через функцію потужності критерію : . А саме: ймовірність похибки першого роду рівна , а ймовірність похибки другого роду рівна .
Число називають рівнем значущості критерію, якщо .
Нехай , тоді квантилем розподілу називається корінь рівняння . Якщо функція строго монотонна, то це рівняння має єдиний корінь; у протилежному випадку це рівняння має декілька коренів, і тоді квантилем називають мінімальний серед коренів рівняння.
2. Критерій відношення правдоподібності для великих вибірок
Одним із найбільш універсальних методів побудови критеріїв перевірки складних гіпотез є метод відношення правдоподібності, суть якого полягає у наступному. Для перевірки гіпотези проти альтернативи вводиться статистика відношення правдоподібності
де , функція правдоподібності. Разом із статистикою вводиться статистика
Будемо вважати, що виконуються умови регулярності, що забезпечують існування, єдність і асимптотичну нормальність оцінки максимальної правдоподібності параметра . Розглянемо випадок простої гіпотези.
Теорема. Нехай потрібно перевірити просту гіпотезу фіксована внутрішня точка множини . Тоді для великих вибірок( ) при виконанні вказаних умов регулярності критерію відношення правдоподібності задається асимптотично критичною множиною
(1)
тобто при
де рівень значущості критерію.
Доведення. Покажемо, що з умов теореми слідує:
(2)
звідки випливає рівність (1). Якщо справедлива гіпотеза , то в силу спроможності оцінки максимальної правдоподібності при великих точка близька до , тому для можна записати розклад Тейлора відносно точки :
де Звідси випливає, що
Оскільки слушна оцінка для , а другі похідні функції правдоподібності, за припущенням, неперервні по , то справедливо:
На основі закону великих чисел при величина
збігається за ймов?/p>