Кривые второго порядка
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Международный университет природы, общества и человека "Дубна"
Кафедра высшей математики
Курсовая работа
по линейной алгебре и аналитической геометрии на тему:
"Кривые второго порядка"
Выполнил студент 1 курса группы 1082
Иванов Иван Иванович
Руководители:
доцент Арбузова Е.В.
ассистент Павлов А.С.
Дубна, 2005
Оглавление
1. Цель курсовой работы
2. Задача
3. Исходные данные
4. Анализ кривой второго порядка
1. Определение зависимости типа данной кривой (1.1) от параметра с помощью инвариантов
2. Переход уравнения кривой при = 0 к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей
3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситетов и данной кривой второго порядка ()
4. Построение кривой в канонической и общей системе координат
5. Вывод для данной кривой
6. Анализ поверхности второго порядка
1. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
2. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений
3. Эллиптический цилиндр в канонической системе координат
7. Вывод
Список литературы
1. Цель курсовой работы
Целью курсовой работы является закрепление и углубление студентом полученных теоретических знаний и технических навыков по изучению и анализу свойств кривых второго порядка.
2. Задача
Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром :
. Определить зависимость типа кривой от параметра с помощью инвариантов.
. Привести уравнение кривой при параметре равном нулю к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситеты и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка при параметре равном нулю.
. Построить кривую в канонической и общей системах координат.
3. Исходные данные
Кривая:
(1.1)
4. Анализ кривой второго порядка
1. Определение зависимости типа данной кривой (1.1) от параметра с помощью инвариантов
Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат уравнением:
Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка.
Найдем коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка (1.1):
Вычислим инварианты кривой (1.1) по формулам:
,
,
Далее, в зависимости от значений инвариантов, определим тип кривой (1.1) и рассмотрим по отдельности кривые различных типов, определяемые этим уравнением кривой второго порядка с параметром , пользуясь классификацией кривых второго порядка.
В зависимости от значения инварианта принята следующая классификация кривых второго порядка.
Если - кривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа.
Если - кривая второго порядка Г называется кривой параболического типа.
Если - кривая второго порядка Г называется кривой гиперболического типа.
Кривая второго порядка Г называется центральной, если .
Кривые эллиптического и гиперболического типа являются центральными кривыми.
Классификация кривых второго порядка с помощью инвариантов:
)эллипс;
)мнимый эллипс;
)вырожденный эллипс;
)две мнимые пересекающиеся прямые (точка) ;
)гипербола;
)две пересекающиеся прямые;
)парабола.
В соответствии с классификацией кривых второго порядка имеем:
1. Если , то есть, то уравнение (1.1) определяет кривую параболического типа. При этом I3 = 0, следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет параболу.
кривая второй порядок поверхность
Если , то кривая второго порядка - центральная. Следовательно, при данная кривая (1.1) - центральная.
. Если , то есть при данная кривая (1.1) определяет кривую эллиптического типа. При этом если ещё и , то есть если , то уравнение (1.1) определяет эллипс.
. Для вырожденного эллипса
. Для мнимого эллипса :
. Если и , то уравнение (1.1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:
=> =>
Следовательно, двух пересекающихся прямых не существует для данного уравнения.
. Если и , то уравнение (1.1) определяет две мнимые пересекающиеся прямые. Получим:
=>
Следовательно, если , то уравнение определяет две мнимые пересекающихся прямые (точку).
Если I2 < 0, то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет кривую гиперболического типа.
7. Если и , то данная кривая - гипербола. Но при всех . Следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет гиперболу.
Используя полученные результаты, построим таблицу:
Значение параметраТип кривойМнимый эллипсВырожденный эллипсДве мнимые пересекающиеся прямые (точка) ЭллипсПараболаГипербола
2. Переход уравнения кривой при = 0 к каноническому виду с помощью параллельного переноса и