Кривые второго порядка
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
поворота координатных осей
При = 0 уравнение (1.1) имеет вид:
(1.2)
а) Определим тип кривой (1.2) с помощью инвариантов:
Так как , то исходное уравнение представляет собой уравнение эллиптического типа, а именно эллипс, так как .
б) Приведём данное уравнение (1.2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
Пусть декартовая прямоугольная система координат получена поворотом системы на угол . Старые и новые координаты точки связаны соотношениями:
(1.3)
Подставим выражение (1.3) в (1.2), получим уравнение (1.2) в системе . Это уравнение имеет вид:
(1.4)
Упрощая полученное уравнение и приводя подобные слагаемые, получаем:
(1.5)
Выберем такой угол , что в уравнении (1.5) коэффициент при = 0:
Примем , тогда найдем значения и , которые выражаются через по формулам: , . Отсюда , а . Возьмём значения , а .
Тогда уравнение (1.5) имеет вид:
Дополним до полных квадратов:
Примем за новое начало точку . Применим формулы преобразования координат:
Получим:
или
То есть получили уравнение эллипса в каноническом виде.
3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситетов и данной кривой второго порядка ()
Для данного уравнения кривой второго порядка найдём фокусы, директрисы, эксцентриситет.
(1.6)
Общее уравнение эллипса имеет вид:
Из канонического уравнения (1.6) находим и - большую и малую полуоси эллипса соответственно:
Для любой точки Мгиперболе, абсолютная величи7а разности фокальных радиусов () есть величина постоянная и равная 2.
Выберем начало координат в середине отрезка равного , тогда в выбранной системе координат точки и имеют координаты исоответственно. Обозначим через постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, что , то есть .
Находим значение по формуле :
Отсюда фокусы и имеют следующие координаты:
,
Эксцентриситетом гиперболы называется величина , то есть имеем:
Директрисой гиперболы, называются две прямые перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные ассиметрично относительно центра гиперболы на расстоянии от него.
Уравнения директрис гиперболы имеют вид:
. Отсюда ;
Асимптотами называются диагонали прямоугольника, к которым стремятся ветви гиперболы. Уравнения асимптот находятся по следующим формулам:
,
то есть и
4. Построение кривой в канонической и общей системе координат
Рис.1. Эллипс в общей системе координат:
Рис.2. Эллипс в канонической системе координат
5. Вывод для данной кривой
второго порядка после определения зависимости типа кривой от параметра с помощью инвариантов мы определили, что при данное уравнение - гипербола. После преобразования уравнения кривой при с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей, было получено каноническое уравнение эллипса. С помощью этого уравнения мы нашли фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты данной гиперболы.
6. Анализ поверхности второго порядка
1. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:
(2.2)
где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Уравнение (1.1) называют общим уравнением поверхности второго порядка , а систему координат называют общей системой координат. Нам дано общее уравнение поверхности второго порядка
(2.1)
Приведём данное уравнение (2.1) к каноническому виду.
(2.2)
То есть получили уравнение эллиптического цилиндра в каноническом виде.
2. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений
Данное каноническое уравнение поверхности (2.2) задает эллиптический цилиндр.
1. Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостью . Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость имеет вид:
(2.3)
Уравнение (2.3) - уравнение эллипса с центром в точке (0,0,0), мнимыми осями в точках и (см. рис 1).
2. Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостями . Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость имеет вид:
: (2.4)
Запишем уравнение (2.4) в виде:
: (2.5)
Уравнение (2.5) - это уравнение прямых в плоскостях ( - любое действительное число). При различных значениях получим семейство соответствующих прямых (см. рис.2):
(сечений нет)
(прямая)
(две параллельные прямые)
Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостью . Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий ?/p>