Кривые второго порядка
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Введение
Курс геометрии содержит разнообразный материал, однако одним из ее центральных разделов является теория кривых второго порядка. Решение задач, связанных с кривыми второго порядка, иногда вызывают большие затруднения.
Некоторые понятия кривых второго порядка встречаются в физике. Например, по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома; по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца, по параболе - тело в однородном поле силы тяжести, брошенное под углом к горизонту.
Все вышесказанное подчеркивает актуальность выбранной темы курсовой работы.
Данная курсовая работа предлагается в виде рабочей тетради, где акцентируется внимание на практические задания.
Целью является изучение теории кривых второго порядка.
Объектом исследования явились кривые второго порядка, а также задачи, связанные с ними.
Предметом исследования является изучение теории кривых второго порядка.
Цель исследования обусловила выбор следующих частных задач:
1.отобрать теоретический материал по теме курсовой работы;
2.обобщить и систематизировать материал;
.рассмотреть основные типы задач и их решение.
Структура курсовой работы следующая. В начале каждой темы рассматривается основной теоретический материал по теории общего уравнения линии второго порядка. Здесь рассматривается приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду, исследование общего уравнения линии второго порядка, а также классификация линий второго порядка.
После каждой темы предлагаются вопросы для самопроверки, а затем упражнения по данной изложенной теме.
После всех изложенных тем предлагается тест с вариантами ответов и ключ к ответам.
Заканчивается данная рабочая тетрадь контрольной работой в два варианта, состоящая из 5 вопросов.
При работе над курсовой работой использовались в качестве основных источников учебники Шипачева В.С., Ильина В. А., Позняка Г.
1. Общее уравнение линии второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.
Определение: Кривой второго порядка называется множество точек М (х; у) на плоскости ХОУ, координаты которых удовлетворяют следующему общему уравнению кривой второго порядка:
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, (1)
где коэффициенты А, 2В, С, 2D, 2E и F - любые числа и, кроме того, числа А, В и С не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 + С2 0.
1.1Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду
Лемма 1: Пусть в прямоугольной системе координат Оху задано уравнение (1) и пусть АС - В2 0. Тогда с помощью параллельного сдвига и последующего поворота осей координат уравнение (1) приводится к виду:
А'х''2 + С' у ''2 + F ' = 0, (2)
где А', С ', F ' - некоторые числа; (х''; у '') - координаты точки (х; у) в новой системе координат.
1.2Инвариантность выражения АС - В2. Классификация линий второго порядка
Коэффициенты А, В и С при старших членах уравнения (1) при параллельном переносе осей координат, как следует из доказательства леммы, не меняются, но они меняются при повороте осей координат. Однако выражение АС - В2 остается неизменным как при переносе, так и при повороте осей, т.е. не зависит от преобразования координат. Действительно, при параллельном переносе этот факт очевиден.
В зависимости от знака величины АС - В2 линии второго порядка разделяются на следующие 3 типа:
) эллиптический, если АС - В2>0;
) гиперболический, если АС - В2 < 0;
) параболический, если АС - В2 =0.
Теорема 1. Пусть в прямоугольной системе координат задано общее уравнение кривой второго порядка
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.
Тогда существует такая прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:
1) (Эллипс);
) (Мнимый эллипс);
) а2х2 + с2у2 = 0 (Пара мнимых пересекающихся прямых);
) (Гипербола);
) а2х2 - с2у2 = 0 (Пара пересекающихся прямых);
) y2= 2px (Парабола);
) у2 - а2 = 0 (Пара параллельных прямых);
) у2 + а2 = 0 (Пара мнимых параллельных прямых):
) у2 = 0 (Пара совпавших прямых).
2. Эллипс
Определение: Эллипсом (рис.1) называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса принято обозначать через F1 и F2.
Рис.1.
- это уравнение называется каноническим уравнением эллипса, где а и b - длины большой и малой полуосей эллипса. При a = b фокусы F1 и F2 совпадают, и указанное уравнение определяет окружность, которая рассматривается как частный случай эллипса.
Уравнение , определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.
Оси симметрии эллипса называются его осями, а центр симметрии (точка пересечения осей) - центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает оси, называются его вершинами. Так как на основании равенства а b, то 2а- длина большой оси симметрии эллипса, 2b - малой оси. Следовательно, числа а и b являются длинами соответственно большой и малой полуосей эллипса.
Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношени?/p>