Кривые второго порядка
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
µ расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ?, получаем:
.
Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1- ?2, тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут вдоль большей оси. В случае окружности b=a и ?=0.
Эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса
Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М1 (2; 3) и М2 (1; ).
Решение: Пусть искомое уравнение эллипса имеет вид . Координаты данных точек удовлетворяют этому уравнению. Подставив вместо х и у сначала координаты точки М1, а затем координаты точки М2, получим систему уравнений
Полагая = m; = n, приходим к системе
решив которую, найдем m = , n = , откуда а2 = 16, b2 = 12. Следовательно, искомое уравнение эллипса имеет вид
2.1 Гипербола
Определение: Гиперболой (рис.2) называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F1 и F2, а расстояние между ними - через 2с.
Рис.2
Уравнение определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка. Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии (точка пересечения осей) - центром гиперболы. Одна из осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются ее вершинами. Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b (см. рис.2) называется основным прямоугольником гиперболы. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (а = b) называется равносторонней, и ее каноническое уравнение имеет вид: х2 - у2 = а2.
Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет буквой ?, получим:
.
Эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.
(в направлении оси, соединяющей вершины). Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник.
Пример 2. Дано уравнение гиперболы 3х2 - 4у2 = 12. Найти ее действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет; составить уравнения ее асимптот.
Решение: Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:
или
откуда находим, что действительная полуось а = 2, а мнимая полуось b = v3.
Так как асимптоты гиперболы имеют уравнения у = , фокусы - координаты (-с; 0) и (с; 0) эксцентриситет , а с = = , то для данной гиперболы получаем: координаты фокусов (-v7; 0) и (v7; 0);
Эксцентриситет
Уравнения асимптот у = .
2.2 Директрисы эллипса и гиперболы
Определение: Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса. (а - большая полуось, ? - эксцентриситет эллипса).
Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид
и .
Первую из них мы условимся называть левой, вторую - правой. Так как для эллипса ?<1, то (рис.3).
Рис.3.
Определение: Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гиперболы.
Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид
и .
Первую из них мы условимся называть левой, вторую - правой.
Так как для гиперболы ? >1, то (рис.4).
Рис.4.
Теорема 1. Если r - расстояние от произвольной точки М эллипса до какого-нибудь фокуса, d - расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.
Теорема 2. Если r - расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого-нибудь фокуса, d - расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.
Множество точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы величина постоянная, равная ?, это эллипс, если ? 1.
Вопросы для самопроверки
1.Что такое директрисы эллипса и директрисы гиперболы?
2.Каким важным свойством обладают эллипс и гипербола?
2.3 Парабола
Определение: Параболой (рис.5) называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).
Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от