Кривые второго порядка
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
фокуса до директрисы - буквой p. Величину р называют параметром параболы.
Рис.5.
у2=2рх - это уравнение называется каноническим уравнением параболы
Уравнение у2=2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.
Точка О называется вершиной параболы, ось симметрии (ось Ох) - осью параболы. Число р, т.е. параметр параболы, как известно, выражает расстояние от фокуса до директрисы.
Парабола, уравнение которой у2 = -2рх, р > 0, расположена слева от оси ординат (рис.5). Вершина этой параболы совпадает с началом координат, осью симметрии является ось Ох.
Пример 3. Дано уравнение параболы у2 = 6х. Составить уравнение ее директрисы и найти координаты ее фокуса.
Решение. Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением параболы, заключаем, что 2р = 6, откуда р = 3.
Так как фокус параболы имеет координаты (; 0), а директриса - уравнение х =, то для данной параболы получаем: координаты фокуса (; 0) и уравнение директрисы х = .
Тест по теме Кривые второго порядка
1.Множество точек М (х; у) на плоскости ХОУ, координаты которых удовлетворяют уравнению Ах2+2Вху+Су2+2Dx+2Ey+F = 0, называется уравнением:
а) четвертого порядка; б) кривой; в) второго порядка?
2. Какая из предложенных кривых имеет вид: ?
а) Эллипс; б) Мнимый эллипс; в) Гипербола.
. Центром эллипса называется:
а) центр пересечения осей; б) ось, на которой лежат фокусы; в) центра нет; гипербола эллипс уравнение линия
. Сопоставьте:
) у2=9 - 3х2 А) уравнение гиперболы
) х2 - 9= 3у2 Б) уравнение параболы
) у2=9х В) уравнение эллипса
. Какая получится кривая, если эксцентриситет ? = 1?
а) Гипербола; б) Парабола; в) Эллипс; г) нет верного ответа.
6. а и b - длины большой и малой полуосей эллипса. Если а = b указанное уравнение определяет:
а) точку; б) прямую; в) окружность.
. Какая получится кривая, если она задана уравнением
х2-2ху+у2+4х-6у+1=0?
а) Парабола; б) Эллипс; в) Окружность; г) Гипербола.
Контрольная работа
I вариант
1.Покажите, что уравнение 7х2 + 12у2 = 252 определяет эллипс. Найдите его полуоси, фокусы и эксцентриситет.
2.Составьте уравнение директрисы параболы, если известно, что осью симметрии является ось Ох и что точка пересечения прямых у = 3х и х + у = 4 лежат на параболе.
3.Приведите уравнения параболы у=х2-4х+3 к каноническому виду и определите координаты ее вершины.
4.Составьте уравнение эллипса, проходящего через точки (1; 4) и (7; 2) и симметричного относительно осей Ох и Оу.
5.Постройте эллипс 9х2+25у2=225. Найдите:
а) полуоси;
б) координаты фокусов;
в) эксцентриситет;
г) уравнения директрис.
II вариант
1.Покажите, что уравнение - 7у2 = 126 - 6х2 определяет гиперболу. Найти ее действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет; составить уравнения ее асимптот.
2.Привести уравнение кривой 4х2+9у2-32х+18у+ 37 = 0 к каноническому виду.
3.Приведите уравнения параболы х=у2-2у+2 к каноническому виду и определите координаты ее вершины.
4.Составьте уравнения параболы, которая проходит через точку (6; 9), симметрична относительно оси Оу и имеет вершину в начале координат.
5.Постройте гиперболу 16х2-9у2=144. Найдите:
а) действительную и мнимую полуоси;
б) координаты фокусов;
в) эксцентриситет;
г) уравнения директрис.
Ответы на тест:
. В
. Б
. А
. 1-В, 2-А, 3-Б
. Б
. В
. А
Заключение
В данной курсовой работе были рассмотрены основные положения, связанные с теорией кривых второго порядка. Как уже отмечалось выше, решение задач, связанных с кривыми второго порядка, иногда вызывают большие затруднения.
Данная рабочая тетрадь предлагает множество практических заданий, также вопросы для самопроверки и упражнения после каждой изученной темы. Также можно проверить себя с помощью теста. В заключении рабочая тетрадь предлагает контрольную работу по изученной теме.
Я считаю, что выполнила поставленные перед собой задачи, а именно:
был проведен полный анализ теоретической основы теории кривых второго порядка;
материал был подвергнут систематизации и обобщению;
были представлены практические задания по данной теме.
В целом можно говорить о том, что поставленная цель, сформулированная как, изучение теории кривых второго порядка была решена.
Литература
1.Аналитическая геометрия. Кривые второго порядка: учеб. пособие/А.А. Грешилов, Т.И. Белова. - М.: Логос, 2004.-128с.
2.Аналитическая геометрия. Ильин В.А., Позняк Г. - М.: Наука, 1974.
.Геометрия на профильном уровне обучения: кривые как геометрические места точек/ И. Смирнова, В. Смирнов//Математика (Прилож. к газ. Первое сентября/. - 2006.
.Сборник задач по математике для ВТУЗов(4 части)/ Ефимов А.В., Демидович Б. П. - М.: Наука, 1993.
.Курс высшей математики для учащихся заочных техникумов и самообразования: учебное пособие/П.Е. Агапов. - М.: Изд-во судостроит. пром.,1961. - 672с.
.Математика для техникумов на базе средней школы/ И.И. Валуцэ. - М.: Наука: Главная редакция физ.-мат. Литературы, 1980. - 496с.
.Математический энциклопедический словарь/ Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. Кол.: С.И Адян, Н.С Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищук, А.П. Юшкевич. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847с.
.Начала высшей математики: Пособие для вузов/ Шипачев В.С. - М.:Дрофа, 2002. -384с.
.Основы курса высшей математики: учебник для вузов/ В.Л. Матросов.- М.