Конечные поля
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Южно-Уральский государственный университет
Кафедра "Прикладной математики"
ОТЧЁТ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ
по дисциплине Алгебраические структуры
Тема: Конечные поля
Выполнил: Батаев Д.В.
Челябинск - 2010
Содержание отчета
Формулировка задачи
Решение поставленной задачи
Используемые утверждения и определения
Используемые теоремы
Решение задачи
Список литературы
Приложение 1. Программная реализация
Приложение 2. Теорема Силова
Приложение 3. Теорема о конечных абелевых подгруппах
Формулировка задачи
конечное поле разложение программа
Изучить конструкции и простейшие свойства конечных полей. Построить конечное расширение простого конечного поля. Изучить на примерах конечных полей понятие степени расширения, конструкцию и однозначную определенность поля разложения, простые поля, понятие примитивного элемента, строение конечной мультипликативной подгруппы поля.
- Проверить многочлен на неприводимость над ?.
Получить разложение данного многочлена на неприводимые множители над ?.
- Написать программу, которая позволяет проверить ? на примитивность.
Решение поставленной задачи
Используемые утверждения и определения
Определение 1.
Система элементов называется полем, если выполнены законы:
- Сложение и умножение вполне определены;
Умножение и сложение ассоциативно;
Умножение и сложение коммутативно;
Существует нулевой и единичный элементы;
Существуют противоположные и обратные элементы;
Выполняется дистрибутивность.
Определение 2.
Поле конечно если оно состоит из конечного числа элементов.
Определение 3.
Поле - простое, если оно не содержит собственных подполей.
Определение 4.
Поле K - конечное расширение подполя F, если все элементы поля K - это линейные комбинации конечного множества элементов с коэффициентами из F, то есть . Размерность, то есть число элементов в базисе K - степень расширения K над F.
Определение 5.
Расширение, полученное присоединением одного элемента, называется простым расширением поля.
Определение 6.
Расширение K поля F называется алгебраическим над F, если каждый элемент из K является алгебраическим над F.
Определение 7.
Многочлен неприводим над полем, если его нельзя представить в виде произведения нетривиальных (неконстантных) многочленов.
Утверждение 1.
Для произвольно заданного поля F существует одно (и с точностью до эквивалентности расширений только одно) простое алгебраическое расширение F(?) такое, что ? является элементом, удовлетворяющим уравнению, где - неразложимый многочлен из F[x].
Используемые теоремы
Теорема 1. О неприводимости многочлена степени 2 или 3.
Для неприводимости многочлена степени 2 или 3 в кольце необходимо и достаточно, чтобы он не имел корней в поле F.
Доказательство
>Если многочлен f не имеет корней в поле F, но приводим в кольце F[x], то его можно записать в виде Но , откуда deg(g)=1. Значит, , где . Но тогда элемент - является корнем многочлена g, а значит, и многочлена f в F, что противоречит предположению. Теорема доказана. <
Теорема 2.
Если - неприводимый многочлен степени m, то в поле содержится любой корень многочлена f. Более того, все корни многочлена f просты и ими являются m различных элементов поля .
Доказательство:
>Пусть - произвольный корень многочлена f в поле разложения этого многочлена над . Тогда , так что и, в частности, . Покажем теперь, что если - какой-нибудь корень многочлена f, то - тоже корень этого многочлена. Пусть f записан в виде , где . Применяя лемму 2.3[1] и теорему 1.46[1], получаем
Поэтому элементы являются корнями многочлена f. Остается доказать, что эти элементы различны. Допустим обратное. Тогда для некоторых целых j и k, . Возводя это равенство в степень qm-k получаем .
Из леммы 2.12[1] следует, что многочлен f(x) делит многочлен , а по лемме 2.13[1] это возможно лишь в случае, когда число m делит m-k+j. Но так как 0 < m-k+j < m то мы получаем противоречие. <
Следствие к теореме 2.
Если - неприводимый многочлен степени m, то его полем разложения над полем является .
Доказательство:
>Из теоремы 2 следует, что многочлен разлагается в поле и . Но из доказательства теоремы видно что ч.т.д.<
Решение задачи
1) Докажем, что многочлен неприводим над . По теореме 1 о неприводимости многочлена необходимо и достаточно, чтобы он не имел корней в поле . Покажем это:
(0)=1;f(1)=3;f(2)=1;f(3)=1;f(4)=4;
Корней нет, следовательно, многочлен неприводим над полем .
) Пусть ? корень многочлена . Так как неприводимый многочлен степени n=3 над полем , то, присоединяя к полю корень этого многочлена мы получим конечное поле [?] из элементов.
По следствию к теореме 2 полем разложения многочлена степени 3 над полем является поле =. А так как поле является конечным расширением поля и @[x]/ - множество элементов кратных f(x), то, из всего этого следует, что все элементы поля представимы в виде ,где .Разложим многочлен на неприводимые множи