Конечные поля
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?ечных абелевых подгруппах
Необходимые теоремы:
Теорема о базе свободной группы
Пусть - свободная абелева группа конечной степени n, A - её отличная от нуля подгруппа. Тогда A свободна и группы , A обладают соответственно базами и такими, что , и делится на.
Доказательство:
>Пусть и. Возникает матрица. Будем назвать элементарными следующие преобразования строк и столбцов целочисленной матрицы:
- перестановка двух строк;
прибавление к одной строке целочисленного кратного другой строки;
умножение строки на -1 и аналогичные преобразования столбцов.
Пользуясь тем, что для любых целых чисел a, b, отличных от нуля, найдутся такие целые числа x, y, что ax + by = НОД(a, b), обычными рассуждениями линейной алгебры - более точно, теории ?-матриц - можно привести матрицу М элементарными преобразованиями строк и столбцов к виду. Остается заметить, что элементарные преобразования строк соответствуют перходу к другой базе подгруппы А, а элементарные преобразования столбцов - к другой базе группы. Теорема доказана.<
Формулировка теоремы о конечных абелевых группах
Всякая конечнопорожденная абелева группа G разлагается в прямую сумму циклических подгрупп. Более точно, G разлагается в прямую сумму бесконечных циклических и примарных циклических групп, причем количество бесконечных циклических слагаемых и набор порядков примарных циклических слагаемых в любом таком разложении одни и те же, т.е. являются инвариантами группы G.
Доказательство:
>По условию, группа G изоморфна некоторой фактор -группе свободной абелевой группе конечной степени n. Согласно теореме о базе свободной группы в группах и A существуют такие базы и , что . Покажем что - прямая сумма циклических подгрупп .
Прежде всего, ясно, что порождается этими подгруппами. Далее, пусть нуль фактор -группы имеет запись . Тогда . С другой стороны, выражая элемент a через базу подгруппы A и учитывая равенства приходи к соотношениям. В виду однозначности записи элементов через свободные порождающие получаем Но это означает, что каждые элемент из элементов принадлежит A. Тем самым доказана однозначность представления нуля в виде суммы элементов подгрупп и, значит, разложимость группы G в прямую сумму циклических подгрупп. Докажем инвариантность чисел. Зафиксируем какое-нибудь разложение группы G в прямую сумму бесконечных циклических и примарных циклических слагаемых и обозначим через и прямые суммы бесконечных циклических и циклических p-слагаемых этого разложения соответственно, где p-простое число. Понятно, что - максимальная p-подгруппа, а - максимальная периодическая подгруппа группы G, так что подгруппа и все не зависят от выбранного разложения. Так как число бесконечных циклических слагаемых равно, то оно - инвариант группы G. Далее, число циклических слагаемых в разложении группы совпадает с таким же числом для её нижнего слоя и, значит, с размерностью векторного пространства над полем из p элементов, а потому - тоже инвариант. Наконец, пусть и, для определенности, Индукцией по докажем, что числа не зависят от выбора разложения. В самом деле, поэтому по индуктивному предложению, те из чисел, которые, - инварианты разложения. Так как количество остальных - это разность между s и количеством чисел , то оно - также инвариант группы.
Теорема доказана.<