Конечные поля
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
тели из.
Так как ? - корень, далее подставим в многочлен, затем раскроем скобки, возведем в степени и сгруппируем.
Для решения задачи разложения многочлена на множители была написана программа (Приложение 1), последовательно перебирающая элементы поля и подставляющая их в исходный многочлен. Если при подстановке очередного элемента многочлен обращается в ноль, то этот элемент является корнем.
) Проверим, является ли элемент ? примитивным элементом поля . Так как примитивный элемент - это элемент, который порождает все элементы поля, то необходимо и достаточно проверить, порождает ли элемент ? мультипликативную группу поля . Для этого была написана программа (Приложение 1), осуществляющая вывод всех элементов порожденных ?.
Результат вывода программы:
0?^2+1?+0
?^2+0?+0
?^2+4?+4
?^2+4?+0
?^2+1?+1
?^2+2?+1
?^2+0?+4
?^2+2?+3
?^2+3?+0
?^2+3?+3
?^2+0?+2
?^2+4?+2
?^2+2?+0
?^2+1?+1
?^2+4?+3
?^2+2?+4
?^2+0?+1
?^2+4?+3
?^2+3?+0
?^2+1?+1
?^2+3?+2
?^2+1?+4
?^2+1?+2
?^2+1?+4
?^2+3?+4
?^2+3?+4
?^2+1?+2
?^2+4?+2
?^2+1?+4
?^2+0?+1
?^2+0?+4
?^2+4?+0
?^2+0?+0
?^2+1?+1
?^2+1?+0
?^2+4?+4
4?^2+3?+4
?^2+0?+1
?^2+3?+2
?^2+2?+0
?^2+2?+2
?^2+0?+3
?^2+1?+3
?^2+3?+0
?^2+4?+4
?^2+1?+2
?^2+3?+1
?^2+0?+4
?^2+1?+2
?^2+2?+0
?^2+4?+4
?^2+2?+3
?^2+4?+1
?^2+4?+3
?^2+4?+1
?^2+2?+1
?^2+2?+1
?^2+4?+3
?^2+1?+3
?^2+4?+1
?^2+0?+4
?^2+0?+1
#62
Элемент ? порождает 62 элемента, а, следовательно не является примитивным элементом поля .
Список литературы
1. Лидл Р. Нидеррайтер Г., Конечные поля: в 2-х т. - М.: Мир, 1988
2. Ван-дер-Варден Б.Л., Алгебра, М.:Наука, 1976
. Каргаполов М.И. Мерзляков Ю.И., Основы теории групп М.:Наука, 1982
. Холл М., Теория групп, М.: Наука, 1961
Приложение 1
Программная реализация
// Программа для нахождения корней многочлена
#include main(void){q,i,j,k;(int i=0;i<5;i++)
for(int j=0;j<5;j++)
for(int k=0;k<5;k++){((i*i*i+2*i*i*j+2*i*i*k+2*i*j*j+3*j*j*k+3*i*k*k+i)%5)continue;((2*i*i*i+3*i*i*j+2*i*i*k+2*i*j*j+4*j*j*j+4*i*j*k+3*j*k*k+j)%5)continue;((i*i*i+3*i*i*j+4*j*j*j+4*i*j*k+k*k*k+k+1)%5)continue;
printf("%dO^2+%dO+%d\n",i,j,k);
}
return 0;
}
// Программа для проверки элемента на примитивность
#include j[3]={0,1,0},s[3],i;main(){(i=0; i<124; i++){("%dO^2+%dO+%d\n",j[2],j[1],j[0]);(int k=0;k<3;k++)[k]=j[k];[0]=(s[2]*4)%5;[1]=(s[0]+4*s[2])%5;[2]=(s[1])%5; (!j[0] && j[1]==1 && !j[2])
break;
}0;
}
Приложение 2
Теорема Силова
Необходимые определения и теоремы:
Определение
Говорят, что группа G действует на множестве M, если для каждых элементов определен элемент причем и здесь e - единица группы G. Множество называется орбитой элемента m.
Теорема Лагранжа
Если H подгруппа конечной группы G, то
Формулировка теоремы Силова:
Пусть G - конечная группа, p - простое число.
Существование. Для каждой степени , делящей порядок G, в G существует подгруппа порядка .
Вложение. Если делит порядок G, то каждая подгруппа порядка из G вложена в некоторую подгруппу порядка из G.
Сопряженность. Все силовские p-подгруппы из G сопряжены в G.
Количество. Количество силовских p-подгрупп из G сравнимо с 1 по модулю p и делит порядок G.
Доказательство:
>
- Существование
Пусть - множество всех подмножеств мощности из G. Очевидно, поэтому наибольшая степень p, делящая - это . Если то, очевидно, так что G действует на правыми сдвигами. Пусть - ты орбита, мощность s которой не делится на . Пусть, далее, непосредственно проверяется, что - подгруппа в G, а - правые смежные классы G по. Покажем, что подгруппа имеет требуемый порядок . Обозначим пока, тогда по теореме Лагранжа. Так как наибольшая степень p, делящая s, - это , то t делится на , в частности . С другой стороны, если то, очевидно, поэтому или. Окончательно.
- Вложение
Пусть делит - подгруппа порядка из -класс подгрупп, сопряженных с P элементами из G. Мы знаем, что Если не делится на p, то делится на, а потому по первой части теоремы в существует подгруппа порядка p. Тогда P* - требуемая подгруппа P. Пусть делится на p. Группа P действует на сопряжениями, причем мощности орбит делят , а потому имеют вид Так как имеется по крайней мере одна одноэлементная орбита {P} и делится на p, то найдется и другая одноэлементная орбита {Q}. Это означает, что P нормализует Q, поэтому PQ есть p-подгруппа (учесть, что и расширения p-подгруппы посредством p-подгруппы есть p- подгруппа). Применяя к PQ тот внутренний автоморфизм группы G, который переводит Q в P, мы получим p-подгруппу PP, содержащую P в качестве собственной нормальной подгруппы. Снова по первой части в PP/P найдется подгруппа P*P/P порядка p, тогда P* - требуемая подгруппа.
Из доказанного утверждения следует, что силовские p-группы конечной группы - это в точности подгруппы порядка , где - максимальная степень p, делящая порядок группы.
- Сопряженность
Пусть P - подгруппа порядка из G (в частности это силовская p-подгруппа), а имеет прежний смысл. Надо доказать, что любая силовская p-подгруппа Q из G лежит в . Но Q действует на сопряжениями, причем орбиты имеют снова мощности Так как теперь заведомо не делится на p, то имеется некоторая одноэлементная орбита {P}, т.е. Q нормализует P. Тогда PQ есть p-подгруппа, и ввиду максимальности P, Q имеем Q=PQ=P
- Количество
В обозначениях предыдущего пункта достаточно проверить, что {Q} - единственная одноэлементная орбита. Но если {Q} - другая такая орбита, то QQ является p-группой, отличной от Q, что невозможно.
Теорема доказана.<
Приложение 3
Теорема о ко?/p>