Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами. Принцип Лагранжа
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Курсовая работа
на тему:
Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами. Принцип Лагранжа
Оглавление
Введение
Постановка задачи
Необходимые и достаточные условия экстремума
Принцип Лагранжа
Необходимое условие экстремума II порядка
Достаточное условие экстремума II порядка
Правило решения
Теорема Вейерштрасса
Примеры
Список литературы
Введение
Теорию задач на отыскание наибольших и наименьших величин называют теорией экстремальных задач.
Слово maximum по латыни означает наибольшее, слово minimum - наименьшее. Оба этих понятия объединяются словом экстремум (от латинского extremum, означающего крайнее). Слово экстремум, как термин, объединяющий понятия максимум и минимум, ввел в употребление Дюбуа-Реймон. Ныне раздел анализа, называют теорией экстремальных задач.
Запись задачи в виде означает, что мы должны решить задачу на минимум, и задачу на максимум.
Задачу на максимум всегда можно свести к задаче на минимум, заменив задачу задачей , где , и наоборот. Поэтому в тех случаях, когда формулировки теорем для задач на минимум и максимум различны, мы иногда ограничиваемся рассмотрением задачи на минимум.
Задачи на максимум и минимум изначально формулируются, как правило, на языке той области, в которой они возникают. А исследуют их средствами математического анализа. Для того, чтобы можно было воспользоваться этими средствами, необходимо перевести формулировку задачи на язык математического анализа. Такой перевод называется формализацией.
В общем виде формализованная задача выглядит следующим образом : найти экстремум (максимум или минимум) функции ,определенной на некотором пространстве при ограничении . Кратко записывается так:
Для функции одной переменной , для функции нескольких переменных . В более общих случаях может быть линейным, нормированным или топологическим пространством. Ограничение может быть записано в виде включения, а также в виде уравнений или неравенств. - нумерация (обозначение) задачи (от английского слова problem - задача). Множество допустимых элементов в задаче обозначаем или . Если множество допустимых элементов совпадает со всем пространством , то задачу называем задачей без ограничений.
Решением задачи на минимум является точка такая, что для всех точек . В этом случае мы пишем . Такой минимум называется еще абсолютным, или глобальным. Аналогично определяется абсолютный максимум в задаче . Величина , где - решение задачи, называется численным значением задачи и обозначается или . Множество решений задачи обозначается . если экстремум не достигается, то указывается последовательность точек , на которой значение функции стремиться к величинам и .
В связи с каждой экстремальной задачей возникают вопросы: каковы необходимые условия экстремума, каковы достаточные условия, существует ли решение задачи, как найти решение явно или численно.
Одним из важнейших принципов решения задач с ограничениями является принцип Лагранжа снятие ограничений. Сфера применимости принципа Лагранжа достаточна широка. Иногда нельзя к задаче применить имеющуюся теорему, однако этот принцип, примененный без основания, тем не менее может привести к точкам, среди которых можно выделить решение.
Постановка задачи
Пусть - функции, n переменных, отображающие пространство Rn в R. Считаем, что все функции обладают определенной гладкостью. Гладкой конечномерной экстремальной задачей с ограничениями тира равенств и неравенств называется следующая задача в Rn :
(P)
В задачах, где имеются ограничения типа неравенств, важно, рассматриваемая задача на минимум или на максимум. Для определенности мы будем рассматривать задачу на минимум.
Необходимые и достаточные условия экстремума
Принцип Лагранжа
Сформулируем необходимое условие экстремума I порядка в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств - принцип Лагранжа.
Теорема. Пусть - точка локального экстремума в задаче (Р), а функции непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (условие гладкости). Тогда существует ненулевой вектор множитель Лагранжа , такой, что для функции Лагранжа задачи (Р) выполняются условия:
a) стационарности :
b) дополняющей нежесткости:
c) неортицательности:
Точки, удовлетворяющие необходимым условиям локального экстремума, называются критическими. В задаче на максимум
Необходимое условие экстремума II порядка.
Сформулируем необходимое условие минимума II порядка в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.
Теорема. Пусть - точка локального минимума в задаче (Р), функции дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (условие гладкости), векторы линейно независимы (условие регулярности).
Тогда существует множитель Лагранжа с такой, что для функции Лагранжа задачи (Р) выполняются условия экстремума I порядка:
a)стационарности:
b)дополняющей нежесткости:
c)неотрицательности
и
где - конус допустимых вариаций, а Л - совокупность множителей Лагранжа , для которых выполнены услов?/p>