Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами. Принцип Лагранжа
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?я a)-c) с .
Мы сформулировали необходимое условие минимума. Необходимое условие максимума формулируется аналогично, за исключением того, что множитель Лагранжа и соответственно в конусе допустимых вариаций
Достаточное условие экстремума II порядка
Сформулируем достаточное условие минимума II порядка в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.
Теорема. Пусть функции , дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (условие гладкости), векторы - линейно независимы (условия регулярности), существует множитель Лагранжа с такой, что для функции Лагранжа задачи (Р)
Выполняются условия экстремума I порядка:
a) стационарности:
b) дополняющей нежесткости:
c) неотрицательности:
и
с некоторой положительной константой , где - конус допустимых вариаций, а - совокупность множитель Лагранжа , для которых выполнены условия a)-c) с .
Тогда - точка локального минимума в задаче (Р).
Достаточное условие максимума формулируется аналогично, за исключением того, что множитель Лагранжа , соответственно в конусе допустимых вариаций и
.
Правило решения.
Для решения гладкой конечномерной задачи с ограничениями типа равенств и неравенств следует:
)Составить функцию Лагранжа
)Выписать необходимое условие экстремума I
a)стационарности:
b)дополняющей нежесткости:
c)неотрицательности:
3)Найти точки , удовлетворяющие условиям a)-c) (эти точки называются критическими).
При этом отдельно рассмотреть случаи:
a);
b) (или любой положительной константе);
c) (или любой отрицательной константе);
В случае a) критические точки могут доставлять и минимум, и максимум в задаче. В случае b) критические точки могут доставлять минимум в задаче. В случае c) критические точки могут доставлять максимум в задаче.
При нахождении критических точек в условиях дополняющие нежесткости для каждого надо рассматривать два случая: и .
)Исследовать на локальный и абсолютный экстремум найденные точки или, если их нет, найти и указать последовательности допустимых точек, на которых эти абсолютные экстремумы достигаются.
При этом можно пытаться воспользоваться непосредственной проверкой или перейти к исследованию условий экстремума II порядка в каждой критической точке. Отметим, что проверка выполнения необходимых или достаточных условий экстремума в задаче типа равенств и неравенств - непростая задача. Поэтому, как правило, мы будем при исследовании экстремума использовать непосредственную проверку, сравнивая значения исследуемой функции в критической точке с её значениями в близких допустимых точках.
Теорема Вейерштрасса
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции). Пусть - непрерывно дифференцируемое отображение некоторой окрестности точки отличен от нуля . Тогда существует обратное отображение некоторой окрестности V точки в окрестность точки такое, что и
с некоторой константой
Пусть - функция n переменных. При исследовании вопроса о достижении функцией n переменных экстремума часто используется следующая теорема.
Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция на непустом ограниченном замкнутом подмножестве D конечномерного пространства (компакте) достигает своих абсолютных максимума и минимума.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем от противного. Пусть функция f (x, y) при изменении (x, y) в D оказывается неограниченной. Тогда для любого n найдется в D такая точка , что
(1)
Из ограниченной последовательности можно извлечь частичная последовательность , сходящуюся к предельной точке
Отметим, что эта точка необходимо принадлежит подмножество D. Действительно, в противном случае точки все были бы от нее отличны, и точка была бы точкой сгущения подмножества D, ей не принадлежащей, что невозможно ввиду замкнутости подмножества D.
В следствии непрерывности функции в точке должно быть
а это находится в противоречии с (1).
Следствие. Если функция f непрерывна на и (), то она достигает своего абсолютного минимума (максимума) на любом замкнутом подмножестве из .
Напомним, что множество A в метрическом пространстве называется компактом, если из всякой последовательности элементов A можно выбрать сходящуюся к элементу из A последовательность или (равносильное определение) если из всякого покрытия A открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Ограниченное и замкнутое множество конечномерного пространства является компактом.
Примеры.
Пример 1.
Решение. Функция Лагранжа:
Необходимые условия локального минимума:
a)стационарности:
b)дополняющей нежесткости:
c)неотрицательности:
Если , то из уравнения пункта a) выводим, что все множители Лагранжа - нули, а этого не может быть.
Поэтому , полагаем .
Предположим , тогда в силу условия b) Выражая из условия a) через и подставляя в уравнения , , получим, что
экстремум равенство теорема вейштрасс
откуда - противоречие с условием неотрицательности c). Значит, в случае критических точек нет.
Пусть. Тогда - единственная критическая точка.
Функция при , значит по следствию из теоре?/p>