Классификация поверхностей второго порядка
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?ся к гиперболоидам. Их асимптотический конус определяется уравнением:
Из уравнения однополостного гиперболоида имеем для положительных z:
а из уравнения (21) -
откуда:
Аналогично для двуполостного.
Предложение 11. Асимптотические направления (?, ?, ?) однополостного гиперболоида совпадают с направлениями образующих его асимптотического конуса и являются решениями (21).
Доказательство. По определению асимптотических направлений.
Теорема 12. Никакие три различных прямолинейных образующих однополостного гиперболоида из одного семейства не параллельны одной плоскости. Любые три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости, являются прямолинейными образующими некоторого однополостного гиперболоида.
Доказательство. Рассмотрим три прямолинейных образующих из одного семейства. Допустим, они параллельны одной плоскости. Так как центральное плоское сечение (асимптотического) конуса состоит из двух пересекающихся одной прямой, то две из трёх прямых должны быть параллельны. Противоречие.
Рассмотрим три попарно скрещивающиеся прямые и некоторую аффинную систему координат, в которой они имеют вид:
Следующая квадрика содержит все эти прямые:
(x-x1)(y-y3)(z-z2)-(x-x2)(y-y1)(z-z3)=0
Это действительно квадрика, так как коэффициент при х3 равен нулю, а, скажем, при ху равен -z2+z3?0 так как прямые скрещиваются. Из классификации квадрик и доказанных свойств следует, что это - однополостный гиперболоид (у цилиндров таких образующих не может быть, это мы докажем в следующем предложении 14)
Рассмотрим теперь не распадающиеся цилиндры
Предложение 14. Все прямолинейные образующие не распадающихся цилиндров являются их образующими (образующие цилиндров определяются по аналогии с коническими поверхностями) и, следовательно, параллельны между собой
Доказательство. Рассмотрим произвольную прямолинейную образующую и спроектируем ее на плоскость z = 0. Тогда результат проекции должен целиком принадлежать направляющей (конике), что возможно только тогда, когда проекция - точка, то есть прямолинейная образующая параллельна оси Oz, то есть образующим.
Рис. 8 эллиптический цилиндр
Рис. 9 мнимый эллиптический цилиндр
Рис. 10 две мнимые пересекающиеся плоскости
Рис. 11 гиперболический цилиндр
Рис. 12 две пересекающиеся плоскости
Рис. 13 параболический цилиндр
Рис. 14 две параллельные плоскости
Рис. 15 две мнимые параллельные плоскости
Рис. 16 две совпадающие плоскости
Список литературы
.Лекции по аналитической геометрии. П. С. Александров 1968 г.
.Справочник по математике. Г.Корн. и Т.Корн 1970 г.
.Аналитическая геометрия. П. С. Моденов 1969 г.
.Линейная алгебра и многомерная геометрия. Н.В. Ефимов. Э.Р. Розендорн 1970 г.
.Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Д.В. Беклемишев 1987 г.
.Краткий курс по аналитической геометрии. Н.В. Ефимов 1975 г.
7.Сборник задач по аналитической геометрии. Д.В. Клетеник 1986 г.
Приложение 1
Задача 1.
Какую поверхность определяет уравнение:
Решение. Чтобы привести данное уравнение к каноническому виду выделяем полные квадраты по x, y, z :
Отсюда:
Сравнивая это уравнение с каноническими выясним что это уравнение однополостного гиперболоида, центр которого смещён в точку О`(-1 ; 1 ; -2) если ввести обозначения:
то уравнение примет вид:
Новые оси O`X, O`Y и O`Z параллельны старым. Так как a = c = 2 то это однополостный гиперболоид вращения вокруг оси О`Y. Относительно новых осей гиперболоид имеет вид:
Рис. 17
Задача 2.
Исследовать форму и расположение относительно системы координат поверхности:
4 - z = x2 + y2
Решение. Применим метод сечений. Полагая в данном уравнение z = h получим
2+y2=4-h
отсюда следует что 4- h должна быть величиной неотрицательной. Пусть 4 - h = R*R, получим в сечении плоскостью z = h линию :
2+y2=R2 ; z = h
Эта линия, очевидно, является окружностью радиуса R с центром на оси Oz. Следовательно данная поверхность является поверхностью вращения вокруг оси Oz. Чтобы выяснить вращением какой линии она получается, пересечём поверхность плоскостью x = 0. В сечении получится парабола на плоскости yOz
2=4-z ; x=0 ;
Вершина её лежит в точке (0, 0, 4) а направлена парабола в отрицательную сторону оси Oz. Таким образом исследуемая поверхность параболоид вращения :
Рис. 18
Задача 3.
Показать, что уравнение :
Определяет однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oy.
Решение. Рассмотрим сечение данной поверхности плоскостями y = h перпендикулярными оси Оу. В сечении получим линию:
, где
Таким образом, в любом сечении, перпендикулярном оси Оу, получается окружность радиуса R, то есть данная поверхность есть поверхность вращения вокруг оси Оу. Выясним, вращением какой линии получена эта поверхность. Пересечём поверхность какой-либо плоскостью, проходящей через ось вращения, например плоскостью хОу, в сечении получится линия:
Эта есть гипербола с полуосями а, b. Вращ