Классификация поверхностей второго порядка

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

виду

 

(III)

 

причем R=3, если а0?0, и R = 2, если а0 = 0. Уравнение (1) задает (в системе координат Ox"y"z") цилиндр над лежащей в плоскости z" = 0 центральной кривой второго порядка, имеющей (в прямоугольной системе координат Ох"у") тоже уравнение (III). При R=3 (т. е. а0?0) эта кривая нераспадающаяся, при R=2 она распадается на пару прямых, а цилиндр (III) вырождается в пару пересекающихся плоскостей. Любая плоскость z"=h пересекает цилиндрическую поверхность (III) по кривой, имеющей то же уравнение (III), в плоскости z"=h (в системе координат с началом О" = (0, 0, h) и теми же направлениями осей х" и у", что и в координатной системе Ox"y"z"). Все эти кривые конгруэнтны между собою; достаточно знать одну из них, чтобы цилиндрическая поверхность (III) была определена. Пусть R = 3. Тогда полуоси a, b кривой (III) (называемые также полуосями цилиндрической поверхности (III)), вместе с ее наименованием, полностью определяют поверхность (III) с точностью до ее положения в пространстве и в свою очередь всецело определяются ею. Чтобы определить полуоси а, b по первоначальному уравнению (I), надо только определить а0. Для определения числа а надо найти какую-нибудь точку прямой центров (из системы определяющих ее уравнений в исходной системе координат) и подставить координаты этой точки в левую часть первоначального уравнения поверхности. Полученный результат не зависит от выбора точки на прямой центров.

Переписывая уравнение кривой (III) в каноническом виде, мы получаем и каноническое уравнение

 

 

эллиптического, соответственно гиперболического, цилиндра, а также (если кривая (III) есть мнимый эллипс) уравнение мнимого эллиптического цилиндра в прямоугольной системе координат Ox"y"z". Снова равенство ?1 = ?2 является признаком того, что наша цилиндрическая поверхность есть поверхность вращения, т. е. так называемый круглый цилиндр; его сечения плоскостями, перпендикулярными к образующим, суть окружности.

Пусть теперь R = r = 2; тогда а0 = 0 и уравнение (III) превращается в уравнение задающее (в прямоугольной системе координат Ox"y"z") пару пересекающихся плоскостей (вещественных, если ?1 и ?2 разных знаков; мнимых, если ?1 и ?2 одного знака). При этом отношение ?1/?2, характеризующее двугранный угол между плоскостями, полностью определяется этой парой плоскостей и в свою очередь полностью ее определяет.

Переходим к поверхностям ранга r=1. Для этих поверхностей лишь одно характеристическое число, пусть ?2, отлично от нуля и ?1=?3=0. Если ось Оу прямоугольной системы координат направить по единственному главному направлению, соответствующему отличному от нуля корню характеристического уравнения, а оси Ох и Oz взять под прямым углом в плоскости, перпендикулярной к уже выбранной оси Оу (а в остальном-произвольно), то во всякой такой системе координат уравнение нашей поверхности будет иметь вид

 

(5)

 

Для поверхности ранга r =1 всегда R ?3.

Пусть R = 3; тогда по крайней мере один из коэффициентов а1, а3 отличен от нуля (иначе в матрице коэффициентов многочлена F (х, у, z) все детерминанты третьего порядка будут равны нулю).

Пусть, например, а3?0. Покажем, что в рассматриваемом случае поверхность (5) будет параболическим цилиндром. Наша задача сейчас-найти такую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (5) примет канонический вид

у2 = 2рх. (IV)

 

Для этого произведем поворот координатной системы Oxyz вокруг оси у на некоторый, пока произвольный, угол ?, т. е. сделаем ортогональное преобразование координат

 

 

что тождественно преобразует левую часть уравнения (5) в

 

 

Приравниваем коэффициент при z" нулю, что дает тригонометрическое уравнение

 

 

из которого и определяем ?:

В полученной прямоугольной системе координат уравнение (5) приобретает вид

 

 

где положено

 

 

При этом b?0 (иначе матрица коэффициентов уравнения (6) имела бы ранг ?2 вопреки предположению, что R = 3).

Уравнение (6) есть уравнение цилиндра над параболой, лежащей в плоскости z" = 0 и имеющей (в системе координат Ох"у") то же уравнение (6). Остается только произвести сдвиг начала координат (в той же плоскости Ох"у"). Мы получим после этого сдвига прямоугольную систему координат, в которой уравнение (6) параболы, а следовательно, и построенного над нею цилиндра примет канонический вид (IV). Поставленная задача решена.

Число р, являющееся параметром параболы, получающейся при сечении параболического цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образующим, называется параметром параболического цилиндра. Это число определено самим цилиндром и в свою очередь определяет его с точностью до его положения в пространстве. Пусть теперь R ?2. Тогда поверхность является парой параллельных (в широком смысле) плоскостей ?1, ?2; канонической системой координат будет произвольная прямоугольная система координат, одна из осей которой (положим, ось у) перпендикулярна к плоскостям ?1, ?2, а две другие оси расположены в средней плоскости между этими плоскостями. Тогда уравнение пары плоскостей ?1, ?2 будет

=b (7)

 

К этому результату можно прийти и из рассмотрения уравнения (5), в котором теперь непременно а1=а3 = 0 (если хотя бы один из коэффициентов аь а3 был ?0, то мы имели бы параболический цилиндр и, значит, R=3).

Итак, уравнение (5) имеет в нашем случае в