Классификация поверхностей второго порядка
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?еме координат есть (Пишем снова х, у, z вместо х", у", z".)
(I*)
Здесь все коэффициенты однозначно (с точностью до общего числового множителя k) определены уравнением (1) поверхности, в какой бы исходной прямоугольной системе координат Охуz мы его ни задавали. Если та же поверхность задана в той же исходной системе координат другим уравнением: G(x, у, z) = 0, то в силу теоремы единственности все коэффициенты многочлена G (х, у, z) получаются из соответствующих коэффициентов многочлена F (х, у, г) умножением на некоторое число k ? 0. Так как при переходе к новой системе координат Охуг многочлены F и G тождественно преобразуются соответственно в многочлены F(х, у, z) и G(x, у, z), то и для соответствующих приведенных многочленов F и G сохраняется соотношение G = kF, так что, в частности, характеристические числа многочлена G (т. е. квадратичной формы его старших членов) получаются из характеристических чисел многочлена F умножением на то же k; то же справедливо и для отношения ?/ ? (при ??0). Последнее ясно и непосредственно: так как детерминант ? - четвертого порядка, а ? -третьего, то при умножении всех коэффициентов многочлена F (х, у, z) на k детерминант ? умножается на k4, а детерминант ? - на k3, значит, ?/ ? умножается на k. Отсюда следует, в частности, что, умножая, если нужно, обе части уравнения F (х,у,г)=0 на k =-1, можно всегда достигнуть того, чтобы (при ??0) число ?/ ? было отрицательным (или равным нулю).
Теперь имеется две возможности: ? = 0 и ? ? 0. Начнем с первой.
1. ?=0. Получаем конус второго порядка вещественный, если среди характеристических чисел ?1,? 2,? 3 имеются числа разных знаков (Здесь целесообразно привести так называемое правило Декарта для определения знаков корней алгебраического уравнения, все корни которого- действительные числа. Это правило в применении к уравнению третьей степени с действительными корнями можно сформулировать так. Пусть дано уравнение ax3+bx2+cx+d = 0. Назовем "переменой знака" пару соседних коэффициентов в этом уравнении (т. е. (а, b), (b, с) или (с, d), состоящую из двух чисел различных знаков. Оказывается, что число положительных корней уравнения третьей степени (все корни которого действительны) равно числу перемен знака в этом уравнении. При этом корни считаются вместе с их кратностями. Умножая, если понадобится, обе части уравнения (1) на -1, можем предположить, что среди его коэффициентов ?1,? 2,? 3 имеется два положительных и один отрицательный. Изменив, если потребуется, наименования осей координат и обозначая положительные коэффициенты через 1/a2,1/b2, а отрицательный через -1/c2, можем представить при ? = 0 уравнение (I*) в виде
(причем здесь и всюду дальше берем а, Ь, с положительными). Это каноническое уравнение вещественного конуса. Заметим, что равенство ?1=? 2 означает а = b; тогда мы имеем круговой конус или конус вращения, его сечения плоскостями z = h суть окружности; если ?1=? 2=-? 3, то уравнение конуса превращается в
2+y2-z2=0
-имеем круговой конус, образующие которого наклонены к его оси под углом ?/4.
Если все характеристические числа -одного знака, мы можем переписать уравнение (I*) при ? = 0 в виде
Это каноническое уравнение мнимого конуса.
. Пусть теперь ??0; это значит, что мы имеем невырожденную центральную поверхность.
Переписываем тогда уравнение (I*) в виде
(I**)
Возможны четыре случая (Пишем снова х, у, z вместо х", у", z".)
а) Все три характеристических числа имеют один и тот же знак, и ? > 0, тогда можем положить
причем а, b, с всегда считаем положительными. Переписываем уравнение (I**) в виде
- получили каноническое уравнение мнимого эллипсоида.
б) Все три характеристических числа имеют один и тот же знак, и ? < 0. Тогда полагаем
-получаем каноническое уравнение вещественного эллипсоида
в) Характеристические числа имеют разные знаки, и ? < 0. Предположим, что числа ?1 и ?2 имеют одинаковые знаки, а ?3 имеет знак, им противоположный. Полагаем
Получаем уравнение
- каноническое уравнение двуполостного гиперболоида. И наконец,
г) Характеристические числа имеют разные знаки, и ? > 0. Предположим снова, что числа ?1 и ?2 имеют одинаковые знаки, а число ?3 - знак, им противоположный. Тогда, полагая
придаем уравнению (I**) вид
Это каноническое уравнение однополостного гиперболоида.
Итак, каждая центральная поверхность второго порядка есть либо конус (действительный или мнимый), либо эллипсоид (действительный или мнимый), либо гиперболоид (двуполостный или однополостный). Положительные числа а, b, с в каноническом уравнении центральной поверхности, являющиеся ее полуосями, выражаются через характеристические числа ?1,?2,?3 и детерминанты ?, ?, т. е. через ортогональные инварианты многочлена F(x, у, z), и, значит, не меняются при переходе от прямоугольной координатной системы Oxyz, в которой задано уравнение F(x, у, z) = 0 рассматриваемой поверхности, к любой другой прямоугольной координатной системе. Но они не зависят также и от того, каким из уравнений, определяющих в первоначальной системе Oxyz данную поверхность, мы воспользовались. В самом деле, уравнения эти отличаются друг от друга только числовым множителем k. Но при умножении всех коэффициентов многочлена F(x, у, z) на данное число k на это же k умножаются и ?/ ?, и все характеристически