Использование методов численного интегрирования с использованием программного обеспечения
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
Введение
Курс численных методов является важной частью математической подготовки студентов педагогических специальностей и направлений. Его значение в настоящее время определяется не только увеличивающимися возможностями применения методов вычислительной математики в вузовском учебном процессе, но и проникновением численных алгоритмов приближенного решения задач в среднее образование, т.е. в сферу деятельности учителя.
Виду того, что разумное применение и квалифицированное преподавание методов приближенного численного анализа затруднительны без основательной подготовки, будущему учителю математики, физики или информатики следует глубоко вникать в суть изучаемых методов приближений и оценок погрешностей, знать их обоснование и соответствующий математический инструментарий.
В курсе математического анализа доказывается, что когда функция f непрерывна на [a,b], для нее существует первообразная F(F(x)= f(x) для всех x[a,b]), причем .(1) Формула (1), называемая формулой Ньютона - Лейбница, представляет собой точный метод вычисления определенного интеграла. Однако в реальности использовать ее удается не всегда. Таким образом, выбранная тема исследования является актуальной.
Цель курсовой работы: использование на практике методов численного интегрирования с использованием программного обеспечения.
Задачами исследования является:
Изучение теоретического материала по теме Численное дифференцирование.
Изучение различных методов интегрирования.
Практическое применение приближенного вычисления определенного интеграла с использованием программного обеспечения.
Предметом исследования - дисциплина Численные методы
Объект - Численное интегрирование. Приближенное вычисление определенного интеграла с использованием формул прямоугольников, трапеций, формула Симпсона.
В приложениях математики одной из наиболее часто встречающихся задач является вычисление определенного интеграла. Существуют точные методы вычисления определенного интеграла.
1. Численное интегрирование
.1 Формулы интегрирования
.1.1 Формулы прямоугольников
Вывод формул
Интегрируемость функции f на отрезке [а; b] означает, что если этот отрезок разбивать точками а = х0 < х1 < ... < хn = b на n частей (п € N), выбирать числа t1 € [хi-1 ; xi] и составлять интегральные суммы
=
(?xi = xi - xi-1),
то будет существовать конечный предел этих сумм при h>0 (h= max ?xi - шаг разбиения), не зависящий ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек ti, из этих частей. Этот предел и есть определенный интеграл
Sn [1,c.108] (1)
Поскольку способ разбиения отрезка может быть любым, в дальнейшем будем разбивать [а; b] на равные части. В этом случае
а условие h>0 равносильно условию п > ?. Следовательно, при достаточно больших п можно положить:
Конкретизируем правило выбора ti. Если взять их равными левыми концам отрезков [xi-1; ix], yi-1 = f(xi-1)то получим
[1,c.109](2)
Приняв t1 =xi - правые концы отрезков [xi-1; xi], yi-1 = f(xi), будем иметь
[1,c.109](3)
Квадратурная формула (2) называется формулой прямоугольников c левыми ординатами, а формула (3) - формулой прямоугольников с правыми ординатами. Взяв в качестве ti середины частичных отрезков, получим формулу прямоугольников с центральными ординатами.
Эти названия объясняются геометрическим смыслом формул. Как известно, определенный интеграл от неотрицательной интегрируемой функции на f отрезке [а; b] равен площади соответствующей криволинейной трапеции. Если криволинейную трапецию заменить ступенчатой фигурой D, составленной из прямоугольников с основаниями [xi-1; xi] и с высотами, равными ординатам точек (xi-1; yi-1 ) графика у = f(x) (i= 1, 2,..., п), то формула (2) выражает замену площади криволинейной трапеции на площадь фигуры D. На рисунке 1 взято п = 2, фигура D с левыми ординатами заштрихована.
Аналогичный смысл имеет и формула (3).
Рис.1. Ступенчатая фигура
.1.2 Формула трапеций
Вывод формулы
Разобьем отрезок [а; b] точками а = х0 < х1 < ... < хn = b на n равных частей одинаковой длины и найдем yi = f(xi)(i= 0,1, …, n). На каждом из отрезков [xi-1; xi] функцию f заменим по формуле линейного интерполирования
На отрезке [x0; x1]
где
Тогда
Найдем правый интеграл переходом к переменной t:
[5,c.15](4)
На остальных отрезках аналогичные выкладки дают
[5,c.15](5)
Складываем почленно приближенные равенства (4), (5) и в силу аддитивности интеграла получим формулу трапеций:
[5,c.15](6)
На рисунке 2 показан геометрический смысл этой формулы при п = 2. Линейная интерполяция приводит к замене графика функции f ломаной, соединяющей точки (х0, у0), (х1, y1),..., (хn, уn) этого графика. Затем вместо криволинейной трапеции рассматривают фигуру D, составленную из прямолинейных трапеций с основаниями y1 и yi+1 и высотой h. Правые части соотношений (4) и (5) равны площадям этих прямолинейных трапеций, а (6) означает замену площади криволинейной трапеции площадью фигуры D.
Рис.2. Криволинейная трапеция
.1.3 Формула Симпсона
От квадратурной формулы следует ожидать большей точности, если для приближения подынтегральной функции / на частичных отрезках использовать квадратичное интерполирование.
Снов