Использование методов численного интегрирования с использованием программного обеспечения
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
ала получим
а затем, с учетом определения М2, и требуемую оценку (15).
Итак, формула трапеций порождает погрешности, оцениваемые числом . Ее точность практически такая же, как и у формулы прямоугольников с центральными ординатами.
Вычислив значение выражения с точностью до vn, находим оценку его полной погрешности относительно J:
. [17,c.55] (17)
2.2 Учет погрешностей квадратурных формул методом двойного
пересчета
Выше были получены формулы строгой оценки погрешностей квадратурных формул. Все они пригодны лишь в случае аналитически заданной подынтегральной функции и требуют нахождения максимума модуля производных, что подчас представляет собой далеко не простую задачу.
Существует не связанный с вычислением производных способ ориентировочной оценки погрешностей, применимый и для интегралов от табличных функций. Это так называемый метод двойного пересчета или метод Руте.
Рассмотрим его сначала для формул прямоугольников (2) и (3).
Выбираем некоторое натуральное число п и проводим вычисления по одной из этих формул дважды: при разбиениях отрезка на n и на 2п частей (с шагом соответственно). Обозначим полученные результаты через . Ясно, что лучшим приближением будет , которое и считаем в дальнейшем приближенным значением интеграла.
Для остаточного члена , равного погрешности числа , справедливо равенство (14) с некоторым числом Пусть значения производной f мало изменяются на отрезке [а; b]. Тогда
[19,c.68] (18)
С учетом (18) и очевидных равенств
= Jn + Rn = J2n + R2n ,
получим сначала
а затем,
| [19,c.68](19)
Таким образом, соотношение (19) дает приблизительную оценку погрешности числа , полученного по формуле прямоугольников с левыми (или правыми) ординатами.
Аналогичные оценки имеют место в случае других квадратурных формул. Для формулы трапеций и формулы прямоугольников с центральными ординатами
[19,c.69](20)
для формулы Симпсона,
[19,c.70](21)
Они тем точнее, чем менее значительно изменяются на [а; b] вторая и соответственно четвертая производные подынтегральной функции.
Хотя соотношения (19) - (21) требуют двойного счета по квадратурным формулам, они практически удобны, особенно при компьютерных вычислениях.
3. Практическое решение приближенного вычисления определенного
интеграла
Формулы численного интегрирования
Задание.
1) Вычислить интеграл но формуле трапеций с тремя десятичными
знаками
2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=8; оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей.
Образец решения
1)
2)
) Для достижения заданной степени точности необходим определить значение п так, чтобы
Здесь a=0.7; b= 1.3;M2 где
Находим
, ;
Положим M2 = 7, тогда неравенство примет вид 16; возьмем п = 20. Вычисление интеграла производим по формуле;
Где h=(b-a)/h=0.6/20=0.003,
yi =y(xi)= 1/
xi =0.7+ in(i=0,1,2….,20)
Все расчеты приведены в таблице 1
Таблица 1. Параметры для вычисления интеграла по формуле трапеций
ixixi22xi2+0.3y0 ;y20y1 ,y2 , …, y18 ,y1900.70.491.281.13140.8838610.730.53291.36581.16860.8557220.760.57761.45521.20630.8289830.790.62411.54821.24430.8036640.820.67241.64481.28250.7797350.850.72251.74501.32100.7570060.880.77441.84881.35970.7354670.910.82811.95621.39860.7150180.940.88362.06721.43780.6955190.970.94092.18181.47710.67700101.001.00002.30001.51660.65937111.031.06092.42181.55620.64259121061.12362.54721.59600.62657131.091.18812.67621.63560.61140141.121.25442.80881.67590.59669151.151.32252.94501.71610.58272161.181.39243.08481.75640.56935171.211.46413.22821.79670.55653181.241.53763.37521.83720.54431191.271.61293.52581.87770.53253201.301.69003.68001.91870.52129211.4051512.77022
Формулы для вычисления параметров смотри приложение 1
Таким образом,
Ответ: l= 0.404
) Согласно условию n=8, поэтому h=(b-a)/n=(1.6 - 1.2)/8=0.05 Вычислительная формула имеет вид
,
Где
Вычисление значений функции, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в таблице 2
Таблица 2. Параметры для вычисления интеграла по формуле Симпсона
ixi2xi-2,1Sin(2xi-2,1)xi2+1y0 ;y8y1,y3,y5,y7Y2,y4,y601.200.300.295522.440.121111.250.400.389422.56250.152021.300.500.47942.690.178231.350.600.56462.82250.200041.400.700.64422.960.217651.450.800.71743.10240.231261.500.900.78333.250.241071.551.000.84153.40250.247381.601.100.89123.560.25030.37130.83050.6368
Формулы для вычисления параметров смотри приложение 2
Следовательно,
Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (таблица 3)
Таблица 3. Параметры для вычисления таблицы конечных разностей
iyi? yi?2 yi?3yi?4 yi00.12110.0309-0.00470.0003-0.000110.15200.0262-0.00440.0002 0.000020.17820.0218-0.00420.0002 0.000030.20000.0176-0.00400.0002 0.000140.21760.0136-0.00380.0003-0.000150.23120.0098-0.00350.000260.24100.0063-0.003370.24730.003080.2503
Формулы для вычисления параметров смотри приложение 3
Так как mах | ?4 yi | = 0,0001, то остаточный член формулы
Вычисления проводились с четырьмя значащими цифрами, а потому величина остаточного члена на погрешность не влияет.
Погрешность вычислений можно оценить из соотношения
Значит, полученные четыре десятичных знака верны.
Ответ: = 0,0828
Заключение
Вычисление определенного интеграла приближенными методами сводится к вычислениям их аналитическими методами и численными методами
Численные методы позволяют обходиться без аналитических построений. Приближение к интегралу