Использование методов численного интегрирования с использованием программного обеспечения
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
а разобьем отрезок [а; b] на п равных частей точками a = x0 < x1 < … < xn = b с общей длиной и обозначим yi = f(xi ) (I = 0, …, n), но теперь возьмем четное число п. Тогда можно рассматривать сдвоенные отрезки [х0 ; х2 ], [х2 ; х4 ], … , [хn-2 ; хn ] с тремя известными узлами и на них функцию f заменять интерполяционными многочленами Ньютона второй степени (на каждом отрезке свой многочлен).
Для x [х0 ; х2 ] имеем
(x) y0 + ty0 + 2 y0, где t=. [3,c.225](7)
Вычислим интеграл от правой части на отрезке [х0 ; х2 ] с заменой переменной
= х0 + ht:
Следовательно,
[3c.225](8)
Аналогично на остальных отрезках:
(i =2, 4, …, n - 2) [3,c.227](9)
Результатом суммирования всех полученных приближенных равенств и будет формула Симпсона:
[3,c.227](10)
правую часть, которой обозначим Jn(C)
Формула Симпсона выглядит более громоздкой по сравнению с формулами прямоугольников и трапеций, но она значительно точнее их и может привести к требуемому результату при меньших п.
Теорема 1. Если производная четвертого порядка f(4) подынтегральной функции непрерывна на [а; b], то
(C)= (d[а; b]), [3,c.228](11)
и поэтому,
[3,c.228](12)
Как видно по оценке Vn M4 , точность формулы Симпсона на два порядка выше точности формулы трапеций и формулы прямоугольников с центральными ординатами. Она является одной из самых употребительных в практике вычисления определенных интегралов.
2. Оценка погрешностей интегрирования
.1 Оценка погрешностей
.2.1 Оценка погрешностей по формулам треугольников
Здесь и далее нам понадобятся следующие теоремы.
Теорема 2. (вторая теорема Больцано- Коши). Пусть функция f непрерывна на отрезке [а; b], а числа m и М - ее наименьшее и наибольшее значения на [а; b]. Тогда для любого числа С, заключенного между т и М, найдется точка с [a; b] такая, что f(с) = С.
Теорема 3. (аддитивность интеграла) Если a = x0 ? x1 ? x2 ? … ? xn = b, то
Теорема 4. (обобщенная теорема о среднем значении интеграла). Пусть:
) функция f непрерывна на отрезке [а; b], а функция g интегрируема на этом отрезке;
) функция g не меняет знак на всем отрезке [а; b]. Тогда существует точка с [а; b] такая, что
Погрешности формул (2) и (3) оцениваются одинаково, поэтому далее правые части этих формул Jn (i) и их остаточные члены Rn (i) (i = 1, 2) для простоты будем записывать без верхних индексов.
Теорема 5. Если подынтегральная функция f имеет на [а; b] непрерывную производную f то оценка погрешностей формул (2) и (3) дается неравенством
[15,c.107](13)
Где М1 = max f (x)
На практике за М1 обычно принимают число, удовлетворяющее неравенству f(x)? М1 для всех x [a; b].
О Доказательство проведем для формулы (2). Пусть отрезок [а; b] разбит на п равных частей [х0 ; х1 ], … , [хn-1 ; хn ] одинаковой длины
Возьмем любой отрезок [хi-1 ; хi ](I = 1,2, … , n). Для всякого х из него найдется зависящее от x число сi*[хi-1 ; х]такое, что f(x)= f(хi-1 )+ f (сi*)(x- хi-1 ) (теорема Лагранжа). Тогда
Функция f непрерывна, а функция g: g(x) =x -xi-1 интегрируема и неотрицательна на [хi-1 ; хi ]. Следовательно, к интегралу в правой части полученного соотношения можно применить теорему 4 с некоторым числом сi [хi-1 ; хi]:
Сложив левые и правые части при i = 1,2, ..., п и воспользовавшись теоремой 3, получим
= h(y0 +…+yn-1 )+
Первое слагаемое справа есть Jn , тогда второе - Rn. Число
=
представляет собой среднее арифметическое значений функции f находящееся между ее наименьшим и наибольшим значениями на [а; b], и потому равно f(с) для некоторого с [a; b] (теорема 2). Следовательно,
Rn = (c [a;b]) [15,c.107](14)
Для получения оценки (13) осталось учесть определение Мi
Таким образом, погрешность первого из приближенных равенств J Jn, порождаемая формулами (2) и (3), оценивается числом . Общее правило (где Vn vn - являются абсолютными погрешностями) вычисления абсолютной 2п погрешности приближенных интегралов примет вид
Где vn - оценка точности вычисления значения Jn.
Как видно из выражения для Vn, оценка погрешностей формул (2) и (3) зависит от подынтегральной функции, от величины отрезка интегрирования и количества п частей его разбиения. Поскольку для каждого конкретного интеграла числа М1 и (b - а)2 постоянны, можно сказать, что погрешность обратно пропорциональна п.
.2.2 Оценка погрешностей по формуле трапеции
Теорема 6. Если вторая производная функции f непрерывна на [а; b], для квадратурной формулы (6) имеет место неравенство
[17,c.55](15)
где М2 =
Пусть [xi-1 ; xi ] - произвольный отрезок из разбиения [а; b] на п равных частей с шагом Пользуясь формулой остаточного члена для интерполяционного многочлена первой степени, построенного на узлах xi-1 ; xi получим
[17,c.55] (16)
Где - зависящее от x число между xi-1 ; xi . Проинтегрируем левую и правую части (8) на отрезке [xi-1 ; xi ]. При этом учтем следующее: во-первых, интеграл от P1 (x) равен (соотношения (4) и (5)); во-вторых, к интегралу от второго слагаемого правой части можно применить обобщенную теорему о среднем ( f " непрерывна, а выражение не меняет знак); в-третьих,
Следовательно,
Просуммировав, левые и правые части полученных равенств при i=1,2, …, n, по аналогии с окончанием доказательства теоремы 5 снач