Интегрирование иррациональных функций
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
подстановку . Тогда
,
и
,
где - многочлен степени , ,, - некоторые числа.
Теперь рассмотрим интегралы типа (I). Можно доказать, что
, (2)
где - некоторый многочлен, степень которого ниже чем степень многочлена , - некоторое число. Это позволяет использовать при вычислении интегралов (I) следующий алгоритм (метод неопределенных коэффициентов):
.Записываем для интеграла (I) формулу (2), в которой полагаем, - неопределенный коэффициент, а - многочлен степени с неопределенными коэффициентами.
.Дифференцируем обе части записанного равенства и умножаем обе части получившегося выражения на .
.Сравнивая коэффициенты, при одинаковых степенях многочленов слева и справа, находим коэффициенты многочлена и число .
Используя этот алгоритм, мы в итоге сведем интеграл к интегралу , который легко находится (выделяем полный квадрат под корнем и вносим соответствующее выражение под знак дифференциала). [4]
ПРИМЕР 1. Найти интеграл .
Записываем для данного интеграла формулу (2):
.
Дифференцируем обе части равенства и получаем:
.
Умножаем обе части равенства на и находим:
,
,
Таким образом, получили
.
ПРИМЕР 2. Найти интеграл .
Приведем интеграл к виду (I). Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегральной функции на :
.
Записываем для данного интеграла формулу (2):
.
Дифференцируем обе части равенства и получаем:
.
Умножаем обе части равенства на и находим:
,
,
Таким образом, получили:
.
2.4 Тригонометрические подстановки
Среди интегралов от иррациональных функций большое практическое применение имеют интегралы вида . Такие интегралы можно находить с помощью тригонометрических подстановок.
Выделим полный квадрат под знаком радикала:
,
а затем сделаем замену .
В результате получим один из следующих интегралов:
или или .
Эти интегралы в свою очередь сводятся к интегралу от функции вида . Делается это с помощью одной из трех подстановок, называемых тригонометрическими:
) (или ) для ;
) (или ) для ;
) (или ) для .
После их применения под знаком корня оказывается квадрат некоторой тригонометрической функции, что и позволяет избавиться от иррациональности.[7]
ПРИМЕР 1. Найти интеграл .
Полагаем . Тогда
и.
Следовательно,
.
Теперь из находим, что и, подставляя в результат интегрирования, окончательно получаем
.
Замечание. Так как
и ,
то окончательный ответ можно записать в виде
.
ПРИМЕР 2. Найти интеграл .
Полагаем . Тогда
и.
Следовательно,
.
Чтобы найти получившийся интеграл, еще раз сделаем замену. Полагаем . Тогда , и
.
Так как , то получившийся ответ можно записать в виде
,
где . Теперь из находим, что и
.
Таким образом, окончательно получим
.
Замечание. Используя формулу , окончательный ответ можно записать в виде
.
ПРИМЕР 3. Найти интеграл .
Выделим полный квадрат в под знаком радикала:
и сделаем замену
, .
Тогда
.
Получившийся интеграл можно найти двумя способами: 1) это интеграл от дифференциального бинома, для которого число - целое; 2) к этому интегралу можно применить тригонометрическую подстановку . Воспользуемся вторым способом. Тогда
и .
Следовательно,
.
Из теперь находим
,
и, подставляя в результат интегрирования, окончательно получаем
Замечания. 1) Если использовать формулу , то окончательный ответ можно записать в виде
.
2) Интеграл , к которому нас привела первая замена, носит промежуточный характер. Решение было бы более коротким, если бы мы сразу перешли от исходного интеграла к интегралу . Этого можно добиться, если объединить замены, т.е. после выделения полного квадрата под знаком радикала сделать замену .
Эти интегралы можно представить в виде суммы двух интегралов, один из которых легко найти, внеся знаменатель под знак дифференциала, а другой - табличный. [3]
ПРИМЕР 4. Найти интеграл .
Выделим полный квадрат под знаком радикала:
и сделаем замену . Тогда , и
.
Чтобы найти получившийся интеграл, представим его в виде суммы:
.
Возвращаясь к старой переменной , окончательно получим
.
Заключение
В процессе обучения, рассмотрев тему Производные, мы переходим к разделу Интегралы. Данная тема является не только объёмной, но и достаточно сложной, особенно, достаточно сравнить процесс вычисления производных и процесс нахождения интегралов различных функций. Изучая эту тему, многие студенты сталкиваются с огромной проблемой. Это связано с тем, что существует большое количество функций, отыскать первообразную для которых не всегда легко, и ещё сложнее выразить эту первообразную через элементарные функции. Примеро