Интегрирование иррациональных функций
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
к).
Поэтому
Интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей.
Разложение правильной дроби на простейшие дроби.
Простейшими являются дроби следующих типов:
.;
. ;
. ;
.
При этом предполагается, что A, B, p, q - действительные числа, а квадратный трехчлен в дробях 3 и 4 типов не имеет действительных корней.
Теорема 3. Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на неповторяющиеся линейные и квадратные множители
Можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
где A1,A2,...,B1,B2,...,C1,C2,...,M1,N1.[3]">,... - некоторые действительные коэффициенты. Обычно неизвестные коэффициенты находятся с помощью метода неопределённых коэффициентов . [3]
Пример: Найти интеграл
Подынтегральное выражение имеет вид , разложим знаменатель дроби на множители и получим
Таким образом, . Значит
Тогда найдем исходный интеграл
первообразный функция иррациональный интегрирование
2. Интегрирование иррациональных функций
.1 Интегрирование алгебраических иррациональностей
Основным приемом интегрирования тех или других классов дифференциальных выражений является отыскание таких подстановок t=?(x), которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду и дали бы возможность представить интеграл в конечном виде в функции от t. Если при этом сама функция ?(x), которую надлежит подставить вместо t, выражается через элементарные функции, то интеграл представится в конечном виде и в функции от x.
Такой приём называется методом рационализации подынтегрального выражения. [4]
Интегрирование функций , где - рациональные числа.
Интеграл вида
(1)
сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены
,
где - общий знаменатель дробей .
Действительно, в этом случае
, ;
, , …, ,
где , , …, - целые
Тогда
.
[5]
ПРИМЕР 1. Найти интеграл
Подынтегральная функция имеет вид , поэтому сделаем замену . Тогда и
Возвращаясь к переменной , окончательно получаем
.
ПРИМЕР 2. Найти интеграл .
Подынтегральная функция имеет вид , поэтому сделаем замену . Тогда и
Возвращаясь к старой переменной, окончательно получаем
.
Частным случаем является функция вида , которую называют дробно-линейной иррациональностью, где a, b, c, d - постоянные числа, m - натуральное число, ad - bc ? 0.
Замена рационализирует интеграл. В самом деле, , откуда - рациональная функция от t.
Поэтому
= [6]
ПРИМЕР 3. Вычислить
Пологая , получим .
Таким образом =
.2 Интегрирование биномиальных дифференциалов
Дифференциальным биномом называется выражение вида
,
где - рациональные числа, - действительные числа.
Как доказал П.Л. Чебышев, интеграл выражается через элементарные функции только в трех случаях:
) - целое число. Тогда данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены , где - общий знаменатель дробей и .
) - целое число. В этом случае интеграл рационализируется с помощью замены , где - знаменатель дроби .
) - целое число. Чтобы рационализировать интеграл, необходимо сделать замену , где - знаменатель дроби .
[5]
ПРИМЕР 1. Найти интеграл .
Это интеграл от дифференциального бинома:
,
где , , . Так как число является целым, то интеграл выражается через элементарные функции. Чтобы рационализировать интеграл, необходимо сделать замену . Откуда находим,
и
.
Возвращаясь к старой переменной , окончательно получаем
.
ПРИМЕР 2. Найти интеграл .
Это интеграл от дифференциального бинома:
,
где , , . Так как - целое число, то интеграл выражается через элементарные функции. Чтобы рационализировать интеграл, необходимо сделать замену . Откуда находим,
и
.
Из находим, что . Подставляя это выражение в результат интегрирования, окончательно получаем
.
ПРИМЕР 3. Найти интеграл
Это интеграл от дифференциального бинома
,
где , значит, используем подстановку , получаем, что
Возвращаясь к первоначальной подстановке, получаем
.3 Интегрирование функций вида
Среди интегралов от иррациональных функций большое практическое применение имеют интегралы вида . Одним из приемов их решения является метод неопределенных коэффициентов.
Интегралы вида очень часто удается свести к вычислению интегралов следующих трех типов:
(I) , (II) ,
(III) ,
где - многочлен степени , - натуральное число.
Интегралы типа (II) и (III) в свою очередь сводятся к интегралу типа (I). Действительно, Для интеграла типа (II) имеем:
,
где - некоторый многочлен степени .
А для приведения интеграла типа (III) к интегралу типа (I) применяют так называемую обратную