Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?ене за правилом Лопиталя. Відповідно до цього результату покладемо
G( , ,z)= G , ,z)= (-1)n+1[ ] (5.5)
n=0,1,2,…
Виконавши обчислення, знаходимо:
= [ ],
= [ ]+
+ ,
звідки для G( ,n+1,z) виходить явне вираження у формі ряду (5.6)
G( ,n+1,z)= [ ]+
+ ,
n=0,1,2,…,0,-1,-2,…,
Тут - логарифмічна похідна Г-Функція, і для випадку n=0 порожня сума приймається рівної 0.
Якщо =-m (m=0,1,2,…),те граничний перехід n+1 (n=0,1,2…)у формулі (5.3) приводить до вираження
G(-m,n+1,z)= F(-m,n+1,z), (5.7)
m=0,1,2,... , n=0,1,2,...
З (5.3) безпосередньо треба, що Вироджена гіпергеометрична функція другого роду задовольняє функціональному співвідношенню
G( , ,z)= G( - +1,2- ,z), (5.8)
На підставі цієї формули можна визначити функцію G( , ,z) при , рівному нулю або цілому негативному числу, за допомогою рівності
G( ,1-n,z)= G( , ,z)= zn G( +n,n+1,z)(5.9)
n=1,2,…,
Таким чином, функція має сенс при будь-яких значеннях її параметрів. З донного визначення випливає, що G( , ,z) регулярна функція від z у площині з розрізом (- ,0) і ціла функція й .
Покажемо, що функція G( , ,z) є рішенням диференціального рівняння (5.1).
При 0, 1, 2,…доказ треба безпосередньо з (5.3). Для цілих необхідний результат може бути обґрунтований шляхом застосування принципу аналітичного продовження.
Якщо 0, 1, 2,…інтеграли F( , ,z) і G( , ,z) лінійно незалежні між собою, у чому легко переконатися, склавши вронскиан цієї пари рішень.
З (5.1) треба W{F,G}=C ez. Порівнюючи обидві частини цієї рівності при z 0, знаходимо
C=
W{ F( , ,z),G( , ,z)}= - ez(5.10)
0, -1, -2,…,
Загальний інтеграл рівняння (7.1) у цьому випадку може бути представлений у формі
u = AF( , ,z)+BG( , ,z)(5.11)
, 0, -1, -2,…,
Функція G( , ,z) володіє рядом властивостей, аналогічних властивостям функції F( , ,z). Так, наприклад, мають місце формули диференціювання:
G( , ,z)= - G( +1, +1,z)
G( , ,z)= (-1)m G( +m, +m,z) (5.12)
m=1,2,...
рекурентні співвідношення:
G- G( +1)-G( -1)=0, (5.13)
( - )G+G( -1) -zG( +1)=0, (5.14)
( -1+z)G - G( -1)+( - +1)G( -1)=0, (5.15)
( +z)G+ ( - -1)G( +1)-zG( +1)=0, (5.16)
G( -1)+(2 - +z)G + ( - +1)G( +1)=0, (5.17)
( - -1)G( -1)- ( -1+z)G + zG( +1)=0, (5.18)
G G( , ,z), G( 1) G( 1, ,z), G( 1) G( , 1,z)
і так далі.
Справедливість цих формул випливає з визначення функції G і відповідних властивостей функції F.
5. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції
Як ми вже відзначали, багато елементарних і спеціальних функцій, що зустрічаються в аналізі, можуть бути вироджені через функцію F( , ,z).
Ми маємо, наприклад,
1) F( , ,z)= =
тому що
F(1,2,z)= = ,
тому що
3) F(-2,1,z)=
Висновок
Курсова робота присвячена дослідженню гіпергеометричних функцій. Можна зробити висновок:
Гіпергеометричні функції застосовуються в різних розділах математичного аналізу, зокрема, при рішенні диференціальних рівнянь і при розгляді інших спеціальних функцій.
За допомогою гіпергеометричних функцій виражаються не тільки сферичні, еліптичні, але й ряд інших, у тому числі й елементарні функції.
У роботі розглянуті визначення гіпергеометричного ряду й гіпергеометричної функції, доведені деякі елементарні властивості гіпергеометричної функції, функціональні й спеціальні функціональні співвідношення, подання різних функцій через гіпергеометричну, вироджену функція 1 і 2 роди, диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції і його інтеграли, подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції.
Література
1. Балк М.Б. Математичний аналіз: теорія аналітичних функцій. К., 2000
2. Гурвиц А.І., Теорія функцій. К., 2004
3. Евграфов М.О. Аналітичні функції. К., 2003
4. Лебедєв І.І. Спеціальні функції і їхні додатки. К., 2000
5. Маркушевич. М.М. Введення в теорію аналітичних функцій. К., 1999
6. Смирнов В.И. Курс вищої математики тім 3,4. К., 2005
7. Уиттекер І, Ватсон У. Курс сучасного аналізу тім 1,2. К., 2000
8. Фихтенгольд К. Курс диференціального й інтегрального вирахування. К., 2004
9. Фильчаков М. Довідник по вищій математиці. К., 2000