Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
стей, різні задачі квантової механіки й так далі.
Велика кількість спеціальних функцій може бути виражене через функцію F( , , ,z), що дозволяє розглядати теорію цих функцій як відповідні спеціальні випадки загальної теорії, даної в справжньому пункті.
1.2 Елементарні властивості гіпергеометричної функції
У справжньому розділі ми розглянемо деякі властивості гіпергеометричної функції, які безпосередньо випливають із її визначення за допомогою ряду (1.1).
1. Беручи до уваги, що члени ряду не змінюються при перестановці параметрів і маємо співвідношення симетрії
F( , , ,z)= F( , , ,z),(2.1)
2. Диференціюючи розглянутий ряд по членне, знаходимо
F( , , ,z)= = =
= = F( +1, +1, +1,z)
Таким чином, F( , , ,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.2)
3. Повторне застосування цієї формули приводить до рівностей
F( , , ,z)= F( +m, +m, +m,z) (2.3)
m=1,2,...
Покладемо надалі для скорочення запису
F( , , ,z)= F,
F( 1, , ,z)= F( 1),
F( , 1, ,z)= F( 1),
F( , , 1,z)= F( 1).
Функції F( 1), F( 1), F( 1) називаються суміжними з F.
4. Ми покажемо, що F і будь-які дві суміжні функції звязані між собою рекурентним співвідношенням з коефіцієнтами, що є лінійними функціями змінного z. Як основні співвідношення цього типу можуть бути обрані рівності (2.4), (2.5), (2.6) відповідно.
( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=0,
( - -1)F+ F( +1)-( - 1)F( -1)=0,
(1-z)F- F( -1)+( - )F( +1)=0.
Підставляючи ряд (1.1) в (2.4) маємо (2.4)
( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=
=( - - ) + (1-z) -( -
) =
= {( - - ) + -( - ) -
}zk=
= {( - - )( +k-1)+( +k)( +k-1)-( - )( -1)
( -k-1)k} zk=0,
тому що
z
= =
= ( +1)...( +k-1)
=( +1)...( +k-1)( +k)
=( -1) ( +1)...( +k-2)
= ( +1)…(+k-2)
=( +1)…(+k-2)(+k-1)
=(-1)(+1).......( +k-3)
Формули (2.5) і (2.6) доводяться аналогічним способом:
( - - )F+ F ( +1)-( - 1)F( -1)=
= { ( - -1) + -( - 1) =
= { - -1 + + k-( +k-1)}zk=0,
(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=
= { - - +( - ) }zk
= { ( + k -1)( + k-1)- ( + k -1)k- ( -1)( + k-1)
+( - ) k}zk=0,
З (2.4)-(2.6) і властивості симетрії (2.1) треба три інших рівності:
( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=0, (2.7)
( - -1)F+ F ( -1)-( - 1)F( -1)=0, (2.8)
(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=0. (2.9)
( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=
= {( - - ) + - -( -
) } zk =
= {( - - )( +k-1)+ ( + k -1)( +k)- ( +k-1)k -( - )( -
1)}zk=0,
( - -1)F+ F ( -1)-( - 1)F( -1)=
= {( - -1) + -( - 1) } zk =
= { - -1+ ( + k )- ( +k-1)}zk=0,
(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=
= { - - +( - ) } zk
= { ( +k-1)( +k-1)- k( +k-1)- ( +k-1)( -1)+k
( - )}zk=0.
Інші рекурентні співвідношення виходять із (2.4) - (2.9) шляхом виключення з відповідної пари формул загальної суміжної функції. Наприклад, комбінуючи (2.5) і (2.8) або (2.6) і (2.9) одержуємо
( - )F- F ( +1)+ F( +1)=0 (2.10)
( - )(1-z)F+( - )F ( -1)-( - )F( -1)=0 (2.11)
і так далі
( - )F- F ( +1)+ F( +1)=
= {( - ) + + } zk=
= { - - ( +k)+ ( +k)} zk =0.
( - )(1-z)F+( - )F ( -1)-( - )F( -1)=
= {( - ) -( - ) +( - ) -( -
) } zk=
= {( - )( +k-1)( +k-1)-( - )( +k-1)k+( - )( -1)( +k-1)-
( - )( +k-1)( -1)}zk=0.
Крім розповсюджених рекурентних співвідношень існують аналогічні співвідношення, що звязують гіпергеометричну функцію виду F( , , ,z) з який або парою родинних функцій виду F( +1, +m, +n,z), де l,m,n довільні цілі числа.
Найпростішими рекурентними співвідношеннями цього типу є
F( , , ,z)-F( , , -1,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.12)
F( , +1, ,z)- F( , , ,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.13)
F( , +1, +1,z)- F( , , ,z)= F( +1, +1, +2,z)(2.14)
F( -1, +1, ,z)- F( , , ,z)= F( , +1, +1,z) (2.15)
До даного класу ставляться також рівність (1.6)
Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в них ряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень для суміжних функцій.
1.3 Гіпергеометричне рівняння
Помітимо, що гіпергеометрична функція u= F( , , ,z) є інтегралом лінійного диференціального рівняння
z(1-z) +[ -( + +1)] - u=0(2.16)
регулярним в околиці крапки z=0.
Рівняння (2.16) називається гіпергеометричним і включає, як окремі випадки, багато диференціальних рівнянь, що зустрічаються в додатках.
Якщо привести це рівняння до стандартної форми, розділивши його на коефіцієнт при другій похідній, то коефіцієнти отриманого рівняння будуть регулярними функціями змінного z в області 0< <1 <1, наявними при z=0 полюс першого порядку або звичайну крапку, залежно від значень параметрів , , .
Із загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь треба, що в такому випадку розглянуте рівняння повинне мати приватне рішення виду
u=zs zk (2.17)
де s належне обране число, 0, статечної ряд сходиться при <1
u= zk+s
= (k+s)zk+s-1
= (k+s)(k+s-1)zk+s-2
Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16) знаходимо
z(1-z) ( zk+s +[ -( + +1)z] ( zk+s - zk+s=0,
z(1-z) ( zk+s-1(k+s)(k+s-1))+[ -( + +1)z] ( zk+s-1(k+s))-
zk+s=
= ( zk+s-1(k+s)(k+s-1))- ( zk+s(k+s)(k+s-1))+ ( zk+s-1 (k+s))-
- zk+s( + +1)(k+s))- zk+s =
= zk+s-1(k+s)(k+s-1+ )- zk+s(s+k+ )(s+k+ )=0,
звідки для визначення показника s і виходить система рівнянь
s(s-1-)=0,
(s+k)(s+k-1+ ) - (s+k-1+ )(s+k-1+ )=0,
k=1,2,...,
перше з яких дає s=0 або s=1-
Припустимо, що 0,-1,-2,…і виберемо s=0
Тоді для обчислення коефіцієнтів одержимо рекурентне співвідношення
= k=1,2,…,
звідки, якщо прийняти =1, треба
= k=0,1,2,…,
де для скорочення запису уведене позначення
= ( +1)…(+k-1),
=1,k=1,2,…,
У такий спосіб перше приватне рішення рівняння (2.16) при 0,-1,-2,…буде
u= = F( , , ,z)= zk, <1 (2.18)
Аналогічно, вибираючи s=1- одержуємо в припущенні, що 2,3,4,…
= k=1,2,…,
звідки, якщо взяти =1 знаходимо
=
k=0,1,2,...,
Таким чином, при 2,3,4,…рівняння (2.16) має друге приватне рішення
u= = = F(1- + ,1- + ,2- ,z), (2.19)
<1,
Якщо не є цілим числом ( 0, 1, 2,…),те обоє рішення (2.18-2.19) існують одночасно й лінійно незалежні між собою, так, що загальне рішення рівняння (2.17) може бути пред