Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
ставлене у формі
u=A F( , , ,z)+B F(1- + ,1- + ,2- ,z), (2.20)
де А и В довільні постійні <1,
2. Подання різних функцій через гіпергеометричну
Гіпергеометрична функція F( , , ,z) приводиться до полінома, коли =0,-1,-2,…або =0,-1,-2. Наприклад,
F( , 0, ,z)= zk= =1,
тому що
=0(0+1)(0+2)…....(0+k-1)=0.
F( , -2, ,z)= zk= z0+ z+ z2 =
=1-2 z+ z2,
тому що
=1, =-2,
=(-2)(-1)=2, =(-2)(-1)0=0, =(-2)(-1)01=0
і так далі.
Перетворення
F( , , ,z)=(1-z F( - , - , ,z)
- =0 =
показує, що гіпергеометрична функція при - =0,-1,-2,…або - =0,-1,-2,…виражається через алгебраїчні функції. Зокрема,
F( , , ,z)= (1-z , (3.1)
Надаючи параметрам , спеціальні значення, знаходимо
(1-z)v= F(-v, 1, 1,z)
(1-z = F( , 1, 1,z(3.2)
(1-z)n= F(-n, , ,z)
n=0,1,2,...
Щоб одержати подання логарифмічної функції, скористаємося розкладанням
ln(1-z)= - =-z <1
звідки треба
ln(1-z)=-zF(1,1,2,z) (3.3)
Аналогічним образом виводяться формули для зворотних кругових функцій:
arctg z=zF( ,1, ,-z2) (3.4)
arcsin z=zF( , , ,z2)
arctg z= (-1)k =z =z =
=z =z =z =zF( ,1, ,-z2),
тому що =1*2*…*k=k!
arcsinz=z+ =z[1+ ]=
=z[1+ ]=z[1+ ]=z[1+ ]=
=z[1+ ]=z[1+ =zF( , , ,z2)...
3. Вироджена гіпергеометрична функція
Поряд з гіпергеометричною функцією F( , , ,z), важливу роль у теорії спеціальних функцій грає так звана Вироджена гіпергеометрична функція F( , ,z).
Щоб визначити цю функцію, помітимо, що статечної ряд
де z комплексне змінне, і - параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення, крім =0,-1,-2,…і символ позначає величину
= =1
сходиться при будь-яких кінцевих z.
Тому що, якщо позначити через загальний член ряду, те
= 0, коли k .
Вироджена гіпергеометрична функція F( , ,z) визначається як сума розглянутого ряду
F( , ,z)= , 0,-1,-2,…,<(4.1)
З даного визначення випливає, що F( , ,z) функція комплексного змінного z.
Якщо покласти
f( , ,z)= F( , ,z)= , (4.2)
те f( , ,z) при фіксованому z буде цілою функцією від і . Дійсно, члени ряду (6.2) є цілими функціями цих змінних, і ряд сходиться рівномірно в області <A, <C.
Думаючи
, маємо для досить більших k
=
Звідси треба, що при заданому z функція F( , ,z)
представляє цілую функцію й мероморфну функцію із простими полюсами в крапках =0,-1,-2,…
Функція F( , ,z) досить часто зустрічається в аналізі, причому головне її значення полягає в тому, що багато спеціальних функцій можуть розглядатися як її окремі випадки, що значною мірою полегшує побудову теорії цих функцій і надає їй загальний і компактний характер.
Звязок функції F( , ,z) з гіпергеометричною функцією дається співвідношенням
F( , ,z)=lim F( , , , )(4.3)
З визначення виродженої гіпергеометричної функції безпосередньо випливають рівності
F( , ,z)= F( +1, +1,z) (4.4)
F( , ,z)= F( +m, +m,z) m=1,2,... (4.5)
і рекурентні співвідношення
( - -1)F+ F ( +1)-( -1)F( -1)=0 (4.6)
F- F( -1)-zF( +1)=0 (4.7)
( -1+z)F+( - )F( -1)-( -1)F( -1)=0 (4.8)
( +z)F- F( +1)-( - )zF( +1)=0 (4.9)
( - )F( -1)+(2 - +z)F- F( +1)=0 (4.10)
( -1)F( -1)- ( -1+z)F+( - )zF( +1)=0 (4.11)
єднальну функцію F F( , ,z) із двома будь-якими суміжними функціями
F( 1) F( 1, ,z) і F( 1) F( , 1,z)
Формули (4.6) і (4.7) доводяться шляхом підстановки ряду (4.1) інші рекурентні співвідношення виходять із них у результаті простих алгебраїчних операцій.
( - -1)F+ F ( +1)-( -1)F( -1)=
= {( - -1) + -( -1) }zk=
= { - -1+ ( +k)- ( +k-1)} zk=
= { - -1+ +k- -k+1)} zk=0
F- F( -1)-zF( +1)=
= { - - } zk=
= { ( +k-1)- ( -1)-k } zk=
= { + k- - - -k } zk=0.
Повторне застосування рекурентних формул приводить до лінійних співвідношень, що звязують функцію F( , ,z) з родинними функціями F( +m, +n,z), де m,n- задані цілі числа. Прикладами подібних співвідношень можуть служити рівності:
F( , ,z) = F( +1, ,z)- F( +1, +1,z) (4.12)
F( , ,z)= F( , +1,z) + F( +1, +1,z) (4.13)
4. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду
Покажемо, що вироджена гіпергеометрична функція є приватним рішенням диференціального рівняння
z +( -z) - u=0(5.1)
де 0,-1,-2,…
u=F( , ,z)= zk
= zk-1
= zk-2
Дійсно, позначаючи ліву частину рівняння l(u) і полога u= = F( , ,z), маємо
l( ) = zk-2+( -z) zk-1- zk=
=[ - ]+ [k + -k- ] 0.
Щоб одержати друге лінійне незалежне рішення розглянутого рівняння, припустимо, що , і виконаємо підстановку .
Рівняння (5.1) перетвориться тоді в рівняння того ж виду
z +( -z) - =0
с новими значеннями параметрів =1+ , =2- . Звідси треба, що при 2,3,…функція також є рішенням рівняння (5.1).
Якщо 0, 1, 2,…обоє рішення ( ) мають сенс і лінійно незалежні між собою, тому загальний інтеграл рівняння (5.1) може бути представлений у вигляді
u= F( , ,z)+B F(1+ - ,2- ,z) (при =1 u= ) (5.2)
0, 1, 2,…
Щоб одержати вираження загального інтеграла у формі, придатної для будь-яких значень (крім =0,-1,-2,…), краще увести вироджену гіпергеометричну функцію другого роду
G , ,z)= F( , ,z)+ F(1+ - ,2- ,z)(5.3)
0, 1, 2,…
Формула (5.3) визначає функцію G , ,z) для будь-яких , відмінних від цілого числа. Покажемо, що при n+1 (n=0,1,2,…)права частина (5.3) прагнути до певної межі. Для доказу замінимо гіпергеометричні функції відповідними рядами й скористаємося співвідношенням теорії Г-Функції. Тоді одержимо (5.4)
G , ,z)= [ - ]=
= ( )
Ми маємо
= =
n=0,1,2,…
= = =
= ,
тому вираження в правій частині (5.4) при n+1 приймає невизначений вид і прагне до межі, значення якого може бути знай?/p>