Динамика микромеханического гироскопа камертонного типа на подвижном основании
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
частотности. Для этого выведем все три графика амплитуды А в зависимости от времени :
Рис.12 Численное моделирование амплитуды А при ,, (красным цветом представлена А при, серым, - А при ,, зеленым, А - при ).
3. Свободные колебания гироскопа на подвижном основании с учетом трения
.1 Случай одночастотной системы
Имеем следующую систему уравнений движения гироскопа:
(3.1)
Найдем решение в переменных Ван-Дер-Поля. Применим к нашей системе метод Страбла и приведем ее к стандартному виду посредством перехода от переменных и к медленным переменным по формулам:
(3.2)
Найдем производные первого и второго порядков переменных и по времени t:
Подставим полученные уравнения в нашу систему:
Запишем дифференциальные уравнения гироскопа пренебрегая слагаемыми второго порядка малости:
В силу ортогональности можем записать выражения:
Получим уравнения для медленных переменных:
, . (3.3)
Найдем решение системы, для этого введем замену переменных:
(3.4)
Запишем систему с учетом переменных:
(3.5)
Заметим, что структура системы идентична структуре системы без трения, поэтому можно записать решение в аналогичном виде:
(3.6)
Где - угол, пропорциональный интегралу от угловой скорости основания гироскопа:
(3.7)
Перейдем, используя замену к переменным
(3.8)
Эти формулы являются решением с точностью до порядка .
Найдем произвольные постоянные из следующих начальных условий:
(3.9)
Производные по переменным определим из выражений:
Здесь мы пренебрегли производными по переменным т.к. они имеют порядок бесконечно малой величины в то время как на практике величины всегда конечны.
Тогда, подставляя начальные условия в выражения, получим:
(3.10)
Учитывая условия, запишем и :
(3.11)
Рассмотрим соотношение и в уравнениях:
(3.12)
В плоскости фазовая точка описывает прямую, которая со временем будет поворачиваться в зависимости от угловой скорости основания:
Рис.13. Фазовые траектории системы.
Таким образом гироскоп является датчиком угла поворота.
.2 Случай разночастотной системы:
Предположим теперь, что имеем разночастотную систему:
При этом а но т.к. мало, значит , тогда система уравнений гироскопа примет вид:
(3.13)
Используя замену переменных, найдем производные первого и второго порядка переменных и по времени.
Подставим полученные уравнения в нашу систему:
,
.
Запишем дифференциальные уравнения гироскопа пренебрегая слагаемыми второго порядка малости:
В силу ортогональности можем записать выражения для и :
Получим уравнения для медленных переменных:
(3.14)
Найдем численное решение системы, для этого приведем ее к виду:
(3.15)
где ,
Решение представим в виде переменных и от безразмерного времени в зависимости от различных:
Рис.14 График переменных и при
Рис.15 График переменных и при
Рис.16 График переменных и при
Рис.17 График переменных и при
Рис.18 График переменных и при
Рис.19 График переменных и при
Амплитуды колебаний гироскопа будем искать в виде:
(3.16)
где А - амплитуда колебаний по переменной , а B - по переменной .
Рис.20 Амплитуда собственных колебаний при
Рис.21 Амплитуда собственных колебаний при
Рис.22 Амплитуда собственных колебаний при
Полученные графики дают нам представление об изменении амплитуды колебаний гироскопа.
Проиллюстрируем более наглядно изменение амплитуды А от величины разночастотности. Для этого выведем все три графика амплитуды А в зависимости от времени :
Рис.23 Численное моделирование амплитуды А при ,, (красным цветом представлена А при, серым, - А при , зеленым, А - при ).
Заключение
Была разработана новая математическая модель микромеханического гироскопа камертонного типа на подвижном основании. Были получены и проанализированы уравнения движения данного гироскопа. В ходе исследования было установлено, что в случае равных собственных частот гироскоп может работать как датчик угла поворота основания. В случае же различных собственных частот изучение поведения гироскопа сильно усложняется, что позволяет сделать вывод о необходимости поисков методов частотной настройки.
Список литературы
1.Журавлев В. Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. - М.: Наука, 1985. 125 с.
.Меркурьев И. В., Подалков В. В. Динамика микромеханического и волнового твердотельного гироскопов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 228 с.