Динамика микромеханического гироскопа камертонного типа на подвижном основании
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
? некоторые преобразования над варьируемыми переменными:
Выпишем интегро-дифференциальные уравнения гироскопа:
1.2 Составление уравнений движения с помощью уравнений Эйлера
гироскоп колебание трение скорость
Проведём проверку полученных уравнений движения гироскопа с помощью уравнений Эйлера
Действие по Гамильтону имеет вид
(1.20)
Подынтегральное выражение есть функция
Оба уравнения вариационной задачи будут выглядеть:
(1.21)
Выведем первое интегро-дифференциально уравнение гироскопа:
Выведем второе интегро-дифференциально уравнение гироскопа:
Таким образом, после подстановки в (1.21) получим:
(1.23)
Получили интегро-дифференциальные уравнения движения гироскопа с помощью уравнений Эйлера. Они совпадают с уравнениями (1.19), полученными с использованием принципа наименьшего действия Гамильтона-Остроградского.
1.3 Решение уравнений движения методом Бубнова-Галеркина
Решение уравнений будем искать в одномодовом приближении с помощью метода Бубнова-Галеркина для функции нормального прогиба в виде:
(1.24)
Чтобы подставить функцию в уравнения, найдем все остальные ее производные:
Интегро-дифференциальные уравнения после подстановки примут вид:
Для первого уравнения проведем непосредственно процедуру Бубнова-Галеркина:
.4 Линеаризация уравнений движения
Раскроем скобки в уравнениях (1.26), получившихся после проведения процедуры Бубнова-Галеркина:
1.5 Нормализация уравнений движения
Обезразмерим переменную , для этого введем новую переменную
(1.29)
Уравнения движения примут следующий вид:
(1.30)
Обозначим частоту колебаний решения в первом уравнении как:
Коэффициент при гироскопическом слагаемом в первом уравнении как:
Обозначим частоту колебаний решения во втором уравнении как:
Коэффициент при гироскопическом слагаемом во втором уравнении как:
В итоге получили уравнения:
(1.31)
Т.к. :
Уравнения примут вид:
(1.31)
2. Свободные колебания гироскопа без учета трения
.1 Случай одночастотной системы:
Имеем следующую систему:
(1.31)
Найдем решение системы (1.31) в переменных Ван-Дер-Поля. Применим к нашей системе метод Страбла и приведем ее к стандартному виду посредством перехода от переменных и к медленным переменным по формулам:
(1.32)
Найдем производные первого и второго порядков переменных и по времени t:
Подставим полученные уравнения в нашу систему (1.32):
После линеаризации система примет вид:
Разделим на коэффициенты при старшей производной, т. о. получим уравнения для медленных переменных:
(1.33)
Найдем решение системы (1.33), для этого запишем второе и четвертое уравнение следующим образом:
Введем замену переменных:
(1.34)
Продифференцируем уравнения замены:
(1.35)
Запишем уравнения для и с учетом замены (1.34), (1.35):
Упрощая выражения, получим:
(1.36)
Запишем определитель полученной системы (1.36):
Найдем значение и подставим его в 1 уравнение системы:
(1.37)
Теперь введем обратную замену:
(1.38)
Запишем выражения для и с учетом замены (1.38):
(1.39)
Запишем определитель полученной системы:
Найдем и подставим его в первое уравнение системы:
(1.40)
Производя аналогичные построения для переменных и , мы получим полный набор коэффициентов для записи решения системы:
(1.41)
Где - угол, пропорциональный интегралу от угловой скорости основания гироскопа:
(1.42)
Эти формулы являются решением с точностью до порядка .
Найдем произвольные постоянные из следующих начальных условий:
(1.44)
Производные по переменным определим из выражений:
Здесь мы пренебрегли производными по переменным т.к. они имеют порядок бесконечно малой величины в то время как на практике величины всегда конечны.
Тогда, подставляя начальные условия в выражения, получим:
Учитывая условия, запишем и :
(1.45)
Рассмотрим соотношение и в уравнениях:
(1.46)
В плоскости фазовая точка описывает прямую, которая со временем будет поворачиваться в зависимости от угловой скорости основания:
Рис.1. Фазовые траектории системы.
Таким образом гироскоп является датчиком угла поворота.
2.2 Случай разночастотной системы
.2.1 Рассмотрим свободные колебания гироскопа на неподвижном основании
Уравнения преобразуются следующим образом:
(2.1)
где
Ищем решение системы в виде:
(2.2)
Где - произвольные постоянные.
Обозначим для кратности ,
, где .