Динамика микромеханического гироскопа камертонного типа на подвижном основании
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
>
В этом случае уравнения примут вид:
(2.3)
Собственная форма колебаний резонатора:
(2.4)
Таково решение исходной задачи по основной форме колебаний. Далее установим связь между каноническим представлением волновой картины колебаний и медленно изменяющимися переменными, которые измеряются емкостными датчиками прибора.
(2.5)
что дает возможность получить формулы перехода от переменных и и медленных переменных Ван-Дер-Поля, непосредственно измеряемых в гироскопе.
(2.6)
где (2.7)
Установим связь с каноническим представлением волновой картины колебаний в тороидальных координатах:
(2.8)
где - угол ориентации волновой картины, - фаза, характеризующая изменение частоты колебаний.
Определим связь между переменными и из уравнений путем тригонометрических преобразований
(2.9)
Из этих соотношений получаем:
Величина P характеризует сумму квадратов амплитуд нормальной и основной квадратурной волн колебаний резонатора, значение Q=0 является условием существования стоячей волны колебаний резонатора.
(2.10)
здесь a, b,, - медленные переменные амплитуда-фаза.
. (2.11)
Отсюда получим угол прецессии:
(2.12)
Угловая скорость прецессии:
(2.13)
Рассмотрим интересный с точки зрения практики случай возбуждения стоячей волны колебаний. Пусть тогда получим угловую скорость в виде:
(2.14)
Числовой пример.
Таблица 1. Массово-упругие характеристики
МатериалПлотность , Модуль упругости , ГПаПлавленый кварц2.20173
Таблица 2. Геометрические характеристики
Радиус полукольца R, ммТолщина полукольца h, ммШирина полукольца b, ммПлощадь поперечного сечения, Момент инерции сечения I, 30.150.30.0451125
Собственная частота колебательного контура .
Частотная расстройка
Коэффициент трения ,
Здесь - добротность.
В дополнение к данным предыдущего числового примера положим, что имеется малая инструментальная погрешность изготовления резонатора по толщине диска , максимальная погрешность составляет 1мкм . В этом случае имеем расщепление частот = 240Гц = 0.004%.
Связанное с этим биение резонатора иллюстрируется:
Рис.2 Скорость прецессии волновой картины колебаний.
Анализ показывает, что инструментальная погрешность изготовления резонатора вызывает переодическое изменение ориентации волновой картины колебаний резонатора, являющихся систематической погрешностью гироскопа.
2.2.2 Рассмотрим свободные колебания гироскопа на подвижном основании
Предположим теперь, что имеем разночастотную систему:
При этом а но т.к. мало, значит , тогда система уравнений гироскопа примет вид:
(2.15)
Используя замену переменных, найдем производные первого и второго порядка переменных и по времени.
Получим уравнения для медленных переменных:
(2.16)
Введем следующую замену:
(2.17)
Выделим первое и третье уравнения системы. Умножим первое уравнение на мнимую единицу и сложим со вторым.
С учетом замены получаем:
(2.18)
Выделим второе и четвертое уравнения системы. Умножим второе уравнение на мнимую единицу и сложим с четвертым.
C учетом замены получим:
(2.19)
Решение будем искать в виде:
, . (2.20)
Запишем определитель для данной системы:
Найдем и подставим его в первое уравнение системы:
(2.21)
Обозначим для простоты
(2.22)
Выразим константы и через и , для этого запишем:
(2.23)
откуда: (2.24)
При этом ,
,
Подставим и , получим:
(2.25)
При этом по формуле Эйлера:
(2.26)
Константы и представим как:
(2.27)
Т.о.:
Мы получили решение для медленных переменных Ван-Дер-Поля:
(2.28)
Произвольные постоянные найдем исходя из начальных условий :
(2.30)
После подстановки получаем:
(2.33)
Мы получили точное решение системы. Теперь найдем численное. Вернемся к системе. Приведем ее к виду:
(2.34)
где ,
Решение представим в виде переменных и от безразмерного времени в зависимости от различных:
Рис.3 График переменных и при
Рис.4 График переменных и при .
Рис.5 График переменных и при
Рис.6 График переменных и при
Рис.7 График переменных и при
Рис.8 График переменных и при
Амплитуды колебаний гироскопа будем искать в виде:
(2.35)
где А - амплитуда колебаний по переменной , а B - по переменной .
Рис.9 Амплитуда собственных колебаний при
Рис.10 Амплитуда собственных колебаний при
Рис.11 Амплитуда собственных колебаний при .
Полученные графики дают нам представление об изменении амплитуды колебаний гироскопа.
Проиллюстрируем более наглядно изменение амплитуды А от величины разно