Деякі скінченно-різнецеві методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
nbsp;
(7)
(8)
Двочленні формули отримуються відповідно із формули (5) при і=0 і із формули (2) при і=1 в результаті відкидання різниць порядка вищого ніж перший.
Таким чином, отримаємо можливість знайти
і ,
в результаті чого можна порахувати
і скласти різниці
Отримані результати записуємо у таблицю в розділ 2 основного бланка
Для знаходження третього наближення застосовуємо трьохчленні формули, які отримуються із формули (2) при і=2 після відкидання різниць третього порядку. Обчислюємо значення із трьохчленних формул:
(9)
(10)
(11)
Звідси можна знайти
і обчислити . Після цього можна заповнити розділ ІІІ в таблиці (І) знайшовши потрібні різниці звичайним порядком.
Метод Чаплигіна
Метод Чаплигіна є одним із найбільш точним із аналітичних методів наближеного інтегрування диф. рівнянь причому допускаючи просту оцінку погрішності. Суть полягає у тому, що шуканий розвязок апроксимуючись двома послідовними функціями
задовольняючи подвійну нерівність
і початковими умовами причому такими, що на при . Геометрично це означає, що шукана інтегральна крива стискається в як завгодно малий криволінійний сектор А0ВnCn (мал. 1).
Якщо положити то максимальна абсолютна погрішність наближеного розвязку буде рівна ця погрішність на кожному кроці визначається безпосередньо.
Покажемо ідею метода Чаплигіна для диф. рівнянь першого порядку
(1)
з початковою умовою
(2)
Причому будемо мати на увазі, що права частина непереривна і має неперервні похідні і в деякому околі початкової точки . Метод побудований на одній лемі.
Лема Чаплигіна про інтегральні нерівності.
Нехай - диференціальний оператор, який відповідає диференціальному рівнянню (1), і інтеграл рівняння (1)
(3)
яке задовольняє початкову умову і вибраний при .
Якщо функція задовольняючи умови:
(4)
і
то на відрізку виконується нерівність
(5)
так чи однаке функція і являється наближеним розвязком .
Аналогічно і для функції виконуються умови:
(6)
то на відрізку має місце нерівність , (7)
так чи однаке функція являється верхнім наближеним розвязком у.
Доведення: Достатньо доказати лиш одне із нерівностей (5) або (7). Доведемо наприклад нерівність (5). Із формул (3) і (4) маємо і Звіди
(8)
Де
(9)
Функція втрачає зміст при х, для якого . В цьому випадку
В силу наведених вище умов функція р(х) визначена і неперервна на відрізку .
Помножимо обидві частини диференціальної нерівності (8) на інтегруючий множник будемо мати
(10)
Звідси інтегруючи нерівність (10) в межах від до , де отримаєм , або так як то остаточно знаходимо при , що і потрібно було довести.
194-Чисельні методи
Висновок:
Недоліком деяких з алгоритмів, яквляється те, що деякі з них не мають амостарту, і необхідно використовувати другий алгоритм для отримання кількох пешрих точок фазовоо простору. Недоліком алгоритму Верле полягає в тому, що нова швидкість знаходиться по формулі вираховуванням близьких по величині чисел. Така операція обумовлює втрату значущих цифр і може привести до значного збільшеня погрішності округлення.
Як вже підкреслювалося, не слід віддавати перевагу одному якому-небудь алгоритму. Успіхи в компютерній технології нині дозволяють легко експерементувати з різними алгоритмами для разнообразних динамічних систем.
Список використаної літератури:
- Х. Гулд, Я.Тобочник. Компьютерное моделирование в физике: часть1.
- В.А.Ильина, П.К. Силаев. Численные методы для физиков-теоретиков часть2. Москва, Ижевск 2004р.
- сайт
- И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений том. 2 Москва 1959р.
- Б.П. Демидович,И.А.Марон, З.Шувалова. Численные методы анализа. Наука Москва 1967р.