Деякі скінченно-різнецеві методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
д напів кроку отримав широке розповсюдження в навчальній літературі.
Один із найбільш відомих алгоритмів вищого порядку привласнюєтья Верле. Запишемо в ряд Тейлора для хn-1
(15)
Якщо скласти формули інтегрування вперед і назад (вирази (3) і (14) відповідно) то отримаємо
(16)
або
(17 )
Аналогічно розвязання розкладу в ряд Тейлора для xn+1 i xn-1 дає
(18)
Підмітимо, що звязок з алгоритом Верле (18) велика погрішність має третій порядок для координати і другий порядок для швидкості. Проте швидкість не бере участі в інтегруванні рівнянь руху. В літературі по чисельному аналізу алгоритм Верле називається неявна симетричність різновидної схеми.
Менш відомим, про те математично еквівалентної версії алгоритму Верле являє собою схема
(19)
і
(20)
Видно, що схема (19-20), називається швидкісною формулою алгоритму Верле, являється самостартуючою і не приводить до накопичення погрішностей округлення. Формули (19-20) можна вивести із формул (16-19) наступним чином.. Спочатку додамо і віднімемо із рівнянь (16-19) по (1/2)хn+1 і запишемо:
(21)
Тут ви використаємо вираз (18). Із (17) знайдемо аn для метода Верле:
(22)
Легко помітити, що підстановка (22)в вираз (21) приводить до (19). В томуж дусі перепишемо (17) для vn+1
(23)
Тепер перепишемо формулу (17) для хn+2 і підтавимо її в отриманий результат формули (23). Отримуємо:
(24)
Тоді використовуємо вираз (17) для xn+1, повторимо цю процедуру і поставимо xn+1 в (24); після не важких перестановок отримаємо потрібний результат (20)
2. Алгоритм Бімана і Шофілда
Інший корисний алгоритм, в якому немає нагромаження погрішностей округлення, як в алгоритмі Верле, належить Біміану і Шофілду. Запишемо алгоритм Бімана в наступному виді:
(25а)
і
(25б)
Підмітимо, що точність розразунку траєктторії по схемі (25) не вища, ніж в алгоритмі Верле. Її перевага заключається в тому, що просто вона краще зберігає енергію. Однак алгоритм Бімана не самостартуючий. Алгорим Бімана і алгоритм Верле в швидкісній вормулі викоритані в програмі BEEMAN
Завершимо наше обговорення оротким викладом двох методів, які зазвичай приводяться в підручниках по чисельному аналізу. Один приклад метода предиктор:
(26а)
Передбучуване значення коодринати дозволить оприділити прискорення
Тоді, використовуючи , отримаємо скоректироване значення vn+1 і xn+1
коректор:
(26б)
Скоректироване значення xn+1 використовується для визначення нового передбачуваного значення аn+1 і, значить, нових передбачених значень vn+1 i xn+r Ця процедура повторяється до тих пір, доки передбачення і скоррективонане значення xn+1 відрізняються менше ніж на задану величину! Даний метод можна розробити на схемі більш високого порядку, які звязуються між собою не тільки xn+1 , xn і vn , але і так само значеннями vn-1 і vn-2. Замітимо, що метод предиктора-коректора не являється самостартуючим.
3. Метод Рунге-Кутта
Для пояснення методу Рунге-Кутта подивимось спочатку розвязок диференціального рівняння першого порядку
(27)
Метод Рунге-Кутти другого порядку для розвязку рівняння (27) модна, використовуючи стандартні значення, записати наступним чином:
(28)
Сенс формул (28) полягає у наступному: В методі Ейлера допускається, що для екстаполяції в наступну точку модна використовувати нахил кривої f(xn,yn)в точці (xn,yn) так чи однакше yn+1=yn+f(xn,yn)*?x. Однак можна повисити почність оцінки нахилу, якщо методом Ейлера повести екстраполяцію в середню точку відрізку, а потім використати центральну похідну на всьому відрізку. Звідси оцінка нахилу в методі Рунге-Котти рівна
де
Застосування методу Рунге-Кутти до рівнянь руху Ньютона дає
(29)
Оскільки методи Руиге-Кутти є такими, що самостартуючими, то їх часто використовують для вираховання декількох перших кроків для несамостартуючих алгоритмів.
4. Метод Рунге Кутта 4-го порядку
Цей метод настільки широко розповсюджений, що його часто називають просто методом Рунге Кутта.
Розглянемо задачу Коші для системи диференціальних рівнянь довільного порядку, що записується у векторній формі як:
Тоді значення невідомої функції в точці xn+1 обчислюється відносно значення в попередній точці xn по такій формулі:
де h крок інтегрування, а коефіцієнти k n розраховуються наступним чином:
Це метод 4-го порядку, тобто похибка на кожному кроці становить O(h5), а сумарна похибка на кінцевому інтервалі інтегрування є величиною O(h4) .
Прямі методи Рунге Кутта
Група прямих методів Рунге Кутта є узагальненням методу Рунге Кутти 4-го порядку. Воно задається формулами
де
Конкретний метод визначається числом s і коефіцієнтами bi,aij i ci . Ці коефіцієнти часто впорядковують в таблицю
0
c2a21
c3a31a32
• • • •
• • • •
• • •