Деякі скінченно-різнецеві методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
>LET а = anew значення на n-му кроці END SUB
DEF f(x) LET e = exp(- x) LET f = 2*e*(e - 1) END DEF
SUB energY(x, v, ecum, e2cuin) LET KE = 0.5*v" v LET e = exp(- x) LET PE = e*{e - 2) LET etot = KE + PE LET ecum = ecum + etot LET e2cum = e2cum + etot*etot END SUB
SUB output{ecum, e2cuiT!, n) LET n = n + 1І вирахування початкового значення
LET ebar = ecum/n PRINT "середня енергія = ";ebar LET sigma2 = e2cum/n - ebar*ebar PRINT "sigma = "; sqr(sigma2) END SUB
Метод Адамса
Цей метод чисельного інтегрування розроблений Адамсом в 1855 році на прохання видомого англійського алтелериста Башфора, який займався внутрішньою балістикою. В подальшому цей метод був забутий і знову відкритий був норвезьким математиком Штермером. Популяризація метода Адамса і подальше його вдосконалення повязане із іменем Крилова.
Запишемо рівняння першого порядку
З початковими умовами (1,2)
Нехай xi(i=0,1,2…)-система рівнозначних значень з кроком h i y(xi). Очевидно маємо
(3)
В силу другої інтерполяційної формули Ньютона з точністб до різниць четвертого порядку отримуємо:
(4)
де або (4а)
Підставляю вираз (4а) в формулу (3) і враховуючи те, що будемо мати
З відси отримуємо формулу експоляриціональну Адамса
(5)
Для початкового процессу потрібно чотири початкових значення y0, y1, y2, y3, - початковий відрізок, який приділяє, виходячи із початкових умов (2), яким-небуть чисельним методом. Мажна наприклад використати метод Рунге-Кутта або розкласти в ряд Тейлора
Де i=1,2,3 (або i=-1,1,2) із відповідною зміною нумерування. Знаючи ці значення, із рівнянь (1) можна знайти значення похідних і скласти таблицю
(6)
Подальше значення yi (i=4,5…) шуканого розвязку можна крок за кроком обчислювати за формулою Адамса, поповнюючи по мірі можливості таблицю різниць (6)
Вирахувавши перше наближення для по формулі
Визначити підрахувати кінцеві різниці
(7)
а потім знайти друге наближення для більш точній формулі
(8)
Якщо і відрізняються лишень на дкілька одиниць останнього зберігаючого десяткового розряду, то можна поставити а потім знайшовши перерахувавши кінцеві різниці (7). Після цього, потрібно знову знайти по формулі (8) Поту цей крок h повинен бути таким, щоб цей перерахунок був зміненим.
На практиці крок h вибирають малим, щоб можна було знехтувати членом в формулі (8)
Якщо за розбіжність величин і суттєва, то потрібно зменшити крок h.
Звичайно крок h зменшують рівно в 2 рази. Можна показати, як в цьому випадку, маючи до деякого значення і таблицю величин хj, yj, Yj=hyj (j<=i) з кроком , можна просто побудувати таблицю величин з кроком
На основі формули (4) будемо мати
(9)
Де Звідси, і і враховуючи, що заходимо
(10)
Аналогічно при із формули (9) отримаєм, що аргументу відповідає значення
(11)
Що стосується значень Yi-1 i Yi, то вони знаходяться в старій таблиці. Після цього складаємо початковий відрізок для нової таблиці:
і знаходимо кінцеві різниці:
Далі таблиця будується простим способом, подальшою модифікацією формули (5):
Для роботи на компютерах формулу Адамса (5) вигідно використовувати в розкритому виді. Враховуючи, що
Після цього маємо: причому
Метод Крилова
Для спрощеня запису обмежимось розглядом диференціальних рівнянь першого порядка
(1)
З початковими умовами
Введемо спочатку ряд допоміжних формул
В силу формули Адамса отримаємо
(2)
Введемо позначення
Формула (2) називається формулою похилого рядка, так як в ній використовуються різниці, які знаходяться на діагоналі таблиці різниць. Враховуючи, що
Із формули (2) будемо мати
Звідси отримуємо першу допоміжну формулу яку ще можна назвати перша формула ламаного рядка
(3)
Далі враховуючи, що і із формули (3) виводимо другу формулу друга формула ламаного рядка
(4)
Якщо отримаємо формулу горизонтального рядка
(5)
Підмітимо, що формулу (5) можна отримати безпосередньо за допомогою інтегрування, в межах від xi до xi+1 розкладанням за допомогою першої інтерполяційної формули Ньютона:
Перейдемо до опису метода Крилова послідовних наближень. Перше наближення полягає у тому, щоб знайти наближене значення
Після цього знайдемо і складає різницю , де .
Значення які знайшли заносимо в розділ (І) основного бланку (таблиця 1)
Схема обчислення відрізка методом послідовних наближень
№ наближенняіxyІ0
1x0
x1
ІІ0
1
2x0
x1
x2
ІІІ0
1
2
3x0
x1
x2
x3
Далі переходимо до другого наближення. Для того, використовуємо дані із знаходження ламаних рядків, обчислюємо значення і :
&