Вычислительные методы в инженерных расчетах
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Введение
На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем этого делать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому важное значение приобрели численные методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науке и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ.
Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, т.е. к действиям, которые выполняет ЭВМ. В зависимости от сложности задачи, заданной точности, применяемого метода может потребоваться выполнить от нескольких десятков до многих миллиардов действий.
Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность. Источниками погрешности приближенного решения являются: 1) несоответствие математической задачи изучаемому реальному явлению; 2) погрешность исходных данных; 3) погрешность метода решения; 4) погрешности округлений в арифметических и других действиях над числами.
Погрешность в решении, обусловленная первыми двумя источниками, называется неустранимой. Эта погрешность может присутствовать, даже если решение поставленной математической задачи найдено точно. Вопрос о том, насколько хорошо описывает математическая модель исследуемое явление, проверяется путем сравнения результата экспериментов и типичных частных решений при некоторых значений входных параметров. Влияние погрешности исходных данных часто удается оценить элементарными средствами, например варьируя исходные данные в пределах их погрешностей и фиксируя решение. Если исходных данных много, а их погрешности носят случайный характер, то на помощь могут прийти статистические методы. В некоторых случаях неустранимую погрешность можно рассматривать как погрешность функции, возникающую за счет погрешности аргументов.
Численные методы в большинстве случаев сами по себе являются приближенными, т.е. даже при отсутствие погрешности во входных данных и при идеальном выполнение арифметических действий они дают решение исходной задачи с некоторой погрешностью, называемой погрешностью метода. Это происходит потому, что численным методом обычно решается некоторая другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. В ряде случаев используемый численный метод строиться на базе бесконечного процесса, который в пределе приводит к искомому решению. Однако реальный предельный переход обычно не удается осуществить, и процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение.
Численный метод обычно зависит от одного или нескольких параметров, которыми можно распоряжаться. В качестве такого параметра служит, например, число итераций при решении систем уравнений или число учитываемых членов при суммирование ряда, а также шаг, с которым используются значения подынтегральной функции при приближенном вычислении определенного интеграла. Погрешность метода или получаемая ее оценка обычно зависит от соответствующего параметра. Иногда удается получить оценку погрешности, выражаемую только через известные величины.
С помощью этой оценки можно определить значения параметра, задающего метод, при которых погрешность метода лежит в требуемых пределах. Чаще же оценка погрешности содержит неизвестные постоянные множители, а параметр метода входит в нее в виде либо степенной, либо показательной функции. По такой оценки судят о скорости убывания погрешности при изменение параметра метода. Скорость убывания погрешности является важной характеристикой метода.
Численный метод может считаться удачно выбранным, если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а погрешность возникающая за счет округлений, называемая вычислительной погрешностью, по крайне мере в несколько раз меньше погрешности метода. Если неустранимая погрешность отсутствует, то погрешность метода должна быть несколько меньше заданной точности решения.
К численному методу, кроме требования достижения заданной точности, предъявляется ряд других требований. Предпочтение отдается методу, который реализуется с помощью меньшего числа действий, требует меньшей памяти ЭВМ и, наконец, является логически более простым, что способствует более быстрой ее реализации на ЭВМ. Перечисленные условия обычно противоречат друг другу, поэтому часто при выборе численного метода приходиться соблюдать компромисс между ними.
1. Решение нелинейных уравнений
Оделить корни уравнения графически.
Уточнить один из них (точность 10) несколькими методами:
а) методом половинного деления
б) методом хорд
в) методом Ньютона
г) используя стандартную формулу Matlab.
.
.
.
.Численные решения нелинейных уравнений
Определена f(x) на множестве gR. Найти f(x)=0 (1).
Методы решения (1) бывают прямыми и итерационными.
Задача поиска разбивается на два этапа:
Локализация корней, т.е. предварительный анализ расположение корней на оси х, в результате которого выявляться такие отрезки х, каждый из которых содержит не более одного корня.
Задания начального значения корня и его дальнейшее уточнение до достижения заданной точности.
Получение очередного значения X называется к-ой итерацией.