Вычислительные методы в инженерных расчетах
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
трична
При решение СЛАУ полезно вычислить предварительно число обусловленностей и только потом подходить к решению.
2.2 Нормы векторов и матриц
Для исследования сходимости и устойчивости численных методов задачи линейной алгебры вводятся понятия нормы векторов и матриц.
Нормой Х=(х, х,…, х) в n- мерном вещественном пространстве R называется не отрицательная величина вычисляемая как функция компоненты вектора и обладающая следующими свойствами:
а) ()
б) , для С)
в)
Нормой матрицы A с вещественными элементами в пространстве матриц называется не отрицательная величина, являющиеся функцией элементов матрицы и обладающая следующими свойствами:
а)
б)
в)
г)
Норма вектора X и норма матрицы A называется согласованные между собой если . Наиболее употребительными являются следующие нормы векторов:
-симметрическая матрица
- вещественные
- максимальное значение модуля собственных значений матрицы Норма (3)-спектральная норма:
если матрица A сама симметрическая () то , тогда =
если имеем собственные значения
AX=X
Норма (3) для матриц оказывается равной:
3-я норма равна максимуму модуля из собственных значений матрицы.
2.3 Метод Зейделя
Метод простых итераций сходиться довольно медленно, для его ускорения существует модификация называемая метод Зейделя, заключающийся в том, что при вычислении компоненты используются уже вычисленные компоненты, а значения остальных компонентов используются в вычисление.
Всегда можно обеспечить его сходимость. Также как и в методе простых итераций строиться эквивалентная система:- начальное значение;
- вектор решения на k-ой итерации.
B - нижняя треугольная матрица полученная из матрицы с диагональными элементами, равные 0.
С - верхний треугольная матрица полученная из матрицы
СЛАУ называется нормальной если ее матрица системы симметрическая т.е. A=A
(Ах,х)>0
линейный уравнение корень матрица
Критерий Сильвестра:
Если А - нормальная, то а>0 i=1,n.
Из любой не вырожденной матрицы можно сделать нормальную просто путем транспонирования
Т-ма: метод Зейделя всегда сходится для нормальных СЛАУ к единственному решению при любом выборе начального приближения.
с>0 это позволяет привести систему уравнения к виду решения итерационного процесса
СЛАУ
Программа:[z1,z2]=zeidel2(A, B, eps)=size(A, 1);=A*A;=A*B;i=1:N(i)=D(i)/C(i,i);
=D1=D1;i=1:Nj=1:Ni==j(i,j)=0;(i,j)=-C(i,j)/C(i,i);=d1;=0;K==0i=1:N=C1(i,1:N);=dot(v,d1);(i)=a+D1(i);=d1;=max(abs(R2-R1));S<eps=d1;=S;=K+1;;=R2;=[1 -2 3 -4 5
8 -9 1 -2
-5 6 -7 8
2 -3 4 -5
-8 9 -1 2]=[6; 3; 9; 6; 3]=det(A)=inv(A)=A\B=abs(A)=max(sum(slave))=abs(A1)=max(sum(slave1))=n1*n11=max(sum(slave))=max(sum(slave1))=n2*n22=A*A=eig(r1)=max(abs(Lambda1))=sqrt(a1)=A1*A1=eig(r2)=max(abs(Lambda2))=sqrt(a2)=n3*n33=10^(-6);
[z1,z2]=zeidel2(A, B, eps)
Решение:=
-2 3 -4 5
8 -9 1 -2
-5 6 -7 8
2 -3 4 -5
-8 9 -1 2=
m1 = 1.5441e+017= 2.7022e+017= 1.4352e+017= 0.5403
.5372
.7791
.3206
.8029= 9.9994e-007