Вычислительные методы в инженерных расчетах
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
>Если {X}C, то говорят что итерационный процесс сходиться.
Основные методы уточнения корней:
Метод половинного деления.
Метод хорд (секущих).
Метод Ньютона (касательных).
Метод простых итераций.
1.1 Отделения корней уравнения графически
. Программа=0.2:0.01:1;=2.71.^(-2*x)-2*x+1;
plot(x,y);on=1.9:0.1:2.1;= sin(x1+(pi/3))-x1/2;(x1,y1);on=0.5:0.01:1.5;=3*x2.^4+8*x2.^3+6*x2.^2+10;(x2,y2);on
. Графики
Рис. 1 - График зависимости y(x)
Рис. 2 - График зависимости y1(x1)
Рис. 3 - График зависимости y2(x2)
1.2 Уточнение корней (точность 10)
.2.1. Метод половинного деления
) f(x)- непрерывна и пройден этап локализации.
2) f(a)f(b)<0
Рис. 4
Если f(a)*f(x)<0, то [a,b]=[a,x];
Если f(b)*f(x)<0, то [a,b]=[x,b].
На n-ом шаге отрезок уменьшается в 2 раз и продолжаем пока:
.
. Программаy=mode(x)= 2.71.^(-2*x)-2*x+1;=0.5;=1;=10^(-6);=b-a;=1;L>eps;=(a+b)/2;(m)=x;mode(x)*mode(a)<0; =x;=x;
m=m+1;=b-a; (число шагов дл уточнени корн)(m)(последовательность приблежений)(c)(корень уровнени)(x)(c)
Рис. 5 - Решение
Рис. 6 - График последовательности приближений с(m)
2. Программаy1=mode2(x1)=sin(x1+(pi/3))-x1/2;=1.9;=2.1;=10^(-6);=b-a;=1;L>eps;=(a+b)/2;(m)=x1;mode2(x1)*mode2(a)<0; =x1;=x1;
m=m+1;=b-a; (число шагов дл уточнени корн)(m)(последовательность приблежений)(c)(корень уровнени)(x1)(c)
Рис. 7 - Решение
Рис. 8 - График последовательности приближений c(m)
. Программаy2=mode3(x2)=3*x2.^4+8*x2.^3+6*x2.^2+10;=0.5;=1.5;=10^(-6);=b-a;=1;L>eps;=(a+b)/2;(m)=x2;mode3(x2)*mode3(a)<0; =x2;=x2;
m=m+1;=b-a; (число шагов дл уточнени корн)(m)(последовательность приблежений)(c)(корень уровнени)(x2)(c)
Рис. 9 - Решение
Рис. 10 - График последовательности приближений c(m)
1.3 Метод хорд
1) f(x)- непрерывна на [a,b]
2) f(a)*f(b)0, f(b)<0
Рис. 11
Пологая у=0
)
Если f(a)*f(x)<0, то [a,b]=[a,x];
Если f(b)*f(x)<0, то [a,b]=[x,b].
Алгоритм в ряде случаев сходиться.
1. Программа=0.5;=2;=10^(-6);=(a-(b-a)/(mode(b)-mode(a))*mode(a));=1;abs(mode(x))>eps;(m)=x;mode(x)*mode(a)<0; =x;=x;=m+1;=(a-(b-a)/(mode(b)-mode(a))*mode(a));
end(число шагов дл уточнени корн)(m)(последовательность приблежений)(c)(корень уровнени)(x)(c)
Рис. 12 - Решение
Рис. 13 - График последовательности приближений c(m)
2. Программа=1.9;=2.1;=10^(-6);=b-a;=1;L>eps;=(a+b)/2;(m)=x1;mode2(x1)*mode2(a)<0; =x1;=x1;
m=m+1;=b-a; (число шагов дл уточнени корн)(m)(последовательность приблежений)(c)(корень уровнени)
disp(x1)(c)
Рис. 14 - Решение
Рис. 15 - График последовательности приближений c(m)
3. Программа=0.5;=1.5;=10^(-6);=b-a;=1;L>eps;=(a+b)/2;(m)=x2;mode3(x2)*mode3(a)<0; =x2;=x2;
m=m+1;=b-a; (число шагов дл уточнени корн)(m)(последовательность приблежений)(c)(корень уровнения)(x2)(c)
Рис. 16 - Решение
Рис. 17 - График последовательности приближений c(m)
1.4 Метод Ньютона
Функция f(x) дифференцирована в с(x) не должна менять свой знак на промежутке от [c,x]
Метод Ньютона также называют методом касательных. Рассмотрим в точке х касательную к кривой y=f(x), задаваемую уравнением
.
Положив Y=0, находим точку x пересечение касательной с осью абсцисс:
Построив касательную в точке x, получаем
Рис. 18
по аналогичной формуле точку x пересечения этой касательной с осью x и т.д.:
1. Программа=0.5;=1;=10^(-6);
x=(a-(b-a)/(mode(b)-mode(a))*mode(a));=1;abs(mode(x))>eps;=x-mode(x)/modew(x);(m)=x;
m=m+1;(число шагов дл уточнени корн)(m)(последовательность приблежений)(c)(корень уровнени)(x)(c)
Рис. 19 - Решение
Рис. 20 - График последовательности приближений с(m)
Программаv1=modew2(x1)=cos(x1+(pi/3))+1/2;=1.9;=2.1;=10^(-6);
x=(a-(b-a)/(mode2(b)-mode2(a))*mode2(a));=1;abs(mode2(x1))>eps;=x-mode2(x1)/modew2(x1);
c(m)=x;=m+1;(число шагов дл уточнени корн)(m)(последовательность приблежений)(c)(корень уровнени)(x)(c)
Рис. 21 - Решение
Рис. 22 - График последовательности приближений c(m)
Программаv2=modew3(x2)=2*(x2-1)+2.^x2*log(2);=0.5;=1.5;=10^(-6);
x=(a-(b-a)/(mode3(b)-mode3(a))*mode3(a));=1;abs(mode3(x))>eps;=x-mode3(x)/modew3(x);
c(m)=x;=m+1;(число шагов дл уточнени корн)(m)(последовательность приблежений)(c)(корень уровнени)(x)(c)
Рис. 23 - Решение
Рис. 24 - График последовательности приближений c(m)
2. Решение СЛАУ
Написать систему линейных уравнений 55
Проверить ее обусловленность
Вычислить определитель матрицы
Найти обратную матрицу
Вычислить число обусловленностей в 3-х нормах
Решить систему методом Зейделя.
2.1 Метод решения СЛАУ
Метод решения СЛАУ можно разделить на 2 класса:
) прямые (точные)
) итерационные.
Прямые методы позволяют в случае точных, сделать вычисления определения решения системы за конечное число арифметических операций. К ним относятся:
. Метод Крамера
. Метод Гаусса
. Метод прогонки
. Метод простых итераций (метод Зейделя)
Число обусловленности матрицы.
- число обусловленности матрицы А.
Число обусловленности зависит от нормы. Это величина показывает, на сколько сильно погрешности входных данных могут повлиять на решение.
А*А=Е
Ошибка входных данных слабо влияет на решение, и система называется хорошо обусловленной.
() система называется плохо обусловленной, ее решение сильно зависит от ошибок заданий коэффициентов и правых частей.
Замечание
A- симме