Волны плоского оптического волновода
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
?вует волноводному режиму распространения волны. Три кривых показывают вид распределения поля в поперечном сечении для разных поперечных мод.
ДИСПЕРСИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕХСЛОЙНОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА
Дисперсионное уравнение для ТЕ-волны:
Из граничных условий (21), (22) вытекает, что они выполняются лишь в том случае, когда выполняется соотношение
, (23)
которое можно преобразовать к виду
. (24)
Где
(25)
(26)
(27)
Полученное уравнение можно представить в другой форме. Используем тождество . Обозначим , , тогда из (23) получим тождество , т.е. и формулу для дисперсионного уравнения:
(28)
Здесь m=1,2,3…
Если подставить (25-27) в (23), то получим уравнение относительно неизвестной .
Величину обычно представляют в виде , где - волновое число электромагнитной волны в свободном пространстве. Если выразить через фазовую скорость волны в волноводе, , то коэффициент равен отношению скорости волны в свободном пространстве к фазовой скорости волны в волноводе
.
Уравнение (24), выраженное через имеет вид
(29)
Корни этого уравнения определяют собственные значения постоянной распространения . При заданной толщине пленки h различные значения соответствуют различным модам, т.е. различным типам волн, распространяющимся в волноводе. Уравнение типа (24) носит название дисперсионного уравнения, так как оно, по существу, связывает скорость волны с длиной волны, а также с параметрами волновода: толщиной волноводного слоя, показателями преломления слоев.
ДИСПЕРСИОННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ
Для наглядности удобно представить решение дисперсионного уравнения в виде графиков зависимостей от толщины волноводного слоя h. Для их построения необходимо задать значения n1, n2, n3, и длину волны . После этого по формуле (29) легко рассчитать и построить зависимости для каждого числа m=1,2… Эти семейства кривых для двух типов волноводов, различающихся параметрами n1, n2, n3, приведены на рис.2.3.
Рис.2.3 Зависимости замедления от толщины слоя оптического волновода для двух характерных типов волноводов:
а) Волновод из пленки полистирола на стеклянной подложке (n1=1, n2=1,59, n3=1,51; ?=0,6328 мкм);
б) Волновод из пленки Ta2O5 на стеклянной подложке (n1=1, n2=2,15, n3=1,51; ?=0,6328 мкм)
КРИТИЧЕСКАЯ ТОЛЩИНА
Найти значение критической толщины можно, приравняв . При этом начинается излучение волн в подложку и волновод теряет свои направляющие свойства. Из выражения (29) имеем
. (30)
Когда в волноводе может распространяться только одна мода, его называют одномодовым. При увеличении толщины волноводного слоя 2 будут последовательно удовлетворяться условия высших мод (TE2, TE3 и т.д.). Волновод, в котором существуют высшие моды, называют многомодовым. Значение критической толщины будет уменьшаться с увеличением разности показателей преломления (n2-n3) волноводного слоя и подложки.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ
Распределение компонент поля в сечении волновода для различных мод задается выражениями
0 < y < ?,
-h < y < 0,
, -? < y < -h.
,
,
, 0 < y < +?, (31)
, -h < y < 0, (32)
, -? < y < -h (33)
Характер распределения поля, описываемого выражениями (31-33), изображен на рис.2.4.
Рис.2.4 Вид распределения поля в поперечном сечении волновода для различных волноводных мод
В волноводном режиме величина ? изменяется от n3 до n2, (n3 > n1, причем n2 > n3). Отсюда видно, что распределение поля в 1 среде довольно резко затухает на расстояниях порядка длины волны, если разница между n3 и n1 не слишком мала. Распределение поля в подложке также экспоненциально затухает, однако при ? > n3, т.е. когда режим волновода приближается к критическому, показатель экспоненты стремится к нулю. Распределение поля при этом вытягивается в подложку. Эффективную глубину проникновения пол в подложку можно определить из выражения (34) как глубину, на которой амплитуда напряженности поля уменьшается в e=2,7 раз по сравнению с амплитудой поля на границе слоев 2 и 3.
(34)
При порядка 10-4 эта величина составляет более десятка длин волн, что намного превышает саму толщину центрального волноводного слоя. При удалении от критического режима поле в подложке становится быстро затухающим. Так при =0,1 эффективная глубина проникновения составит уже долю длины волны.
Распределение поля в центральном слое - гармоническое, вида . Максимум этого распределения сдвинут в область отрицательных значений y (в область центрального слоя) на величину . Область значений y простирается от 0 до -h, величина изменяется от 0 до . Величину можно определить из дисперсионного уравнения как
.
Отсюда видно, что в случае низших мод (m=1), не превышает ? и, следовательно, на толщине слоя укладывается менее полупериода функции . Если же m=2, то на толщине слоя может укладываться от 0,5 до 1 периода функции , так как ? < ?h < 2? и так далее при произвольном m на толщине h укладывается без малого m пространственных полупериодов функции . Распределение поля высших мод в центральном слое оказывается знакопеременным и имеет m-1 переходов через 0 в пределах толщины слоя, как это показано на рис. 4.
4. Расчет электромагнитных полей
Построим зависимость коэффициента замедления от толщины волноводного слоя для трех низших ТЕ мод для заданных показателей преломления и длины волны
n1=1, n