Волны плоского оптического волновода

Курсовой проект - Физика

Другие курсовые по предмету Физика

?вует волноводному режиму распространения волны. Три кривых показывают вид распределения поля в поперечном сечении для разных поперечных мод.

 

ДИСПЕРСИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕХСЛОЙНОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА

Дисперсионное уравнение для ТЕ-волны:

Из граничных условий (21), (22) вытекает, что они выполняются лишь в том случае, когда выполняется соотношение

 

, (23)

 

которое можно преобразовать к виду

 

. (24)

 

Где

 

(25)

(26)

(27)

Полученное уравнение можно представить в другой форме. Используем тождество . Обозначим , , тогда из (23) получим тождество , т.е. и формулу для дисперсионного уравнения:

 

(28)

 

Здесь m=1,2,3…

Если подставить (25-27) в (23), то получим уравнение относительно неизвестной .

Величину обычно представляют в виде , где - волновое число электромагнитной волны в свободном пространстве. Если выразить через фазовую скорость волны в волноводе, , то коэффициент равен отношению скорости волны в свободном пространстве к фазовой скорости волны в волноводе

 

.

 

Уравнение (24), выраженное через имеет вид

 

(29)

Корни этого уравнения определяют собственные значения постоянной распространения . При заданной толщине пленки h различные значения соответствуют различным модам, т.е. различным типам волн, распространяющимся в волноводе. Уравнение типа (24) носит название дисперсионного уравнения, так как оно, по существу, связывает скорость волны с длиной волны, а также с параметрами волновода: толщиной волноводного слоя, показателями преломления слоев.

 

ДИСПЕРСИОННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

Для наглядности удобно представить решение дисперсионного уравнения в виде графиков зависимостей от толщины волноводного слоя h. Для их построения необходимо задать значения n1, n2, n3, и длину волны . После этого по формуле (29) легко рассчитать и построить зависимости для каждого числа m=1,2… Эти семейства кривых для двух типов волноводов, различающихся параметрами n1, n2, n3, приведены на рис.2.3.

 

Рис.2.3 Зависимости замедления от толщины слоя оптического волновода для двух характерных типов волноводов:

а) Волновод из пленки полистирола на стеклянной подложке (n1=1, n2=1,59, n3=1,51; ?=0,6328 мкм);

б) Волновод из пленки Ta2O5 на стеклянной подложке (n1=1, n2=2,15, n3=1,51; ?=0,6328 мкм)

 

КРИТИЧЕСКАЯ ТОЛЩИНА

Найти значение критической толщины можно, приравняв . При этом начинается излучение волн в подложку и волновод теряет свои направляющие свойства. Из выражения (29) имеем

 

. (30)

 

Когда в волноводе может распространяться только одна мода, его называют одномодовым. При увеличении толщины волноводного слоя 2 будут последовательно удовлетворяться условия высших мод (TE2, TE3 и т.д.). Волновод, в котором существуют высшие моды, называют многомодовым. Значение критической толщины будет уменьшаться с увеличением разности показателей преломления (n2-n3) волноводного слоя и подложки.

 

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ

Распределение компонент поля в сечении волновода для различных мод задается выражениями

 

0 < y < ?,

-h < y < 0,

, -? < y < -h.

,

,

, 0 < y < +?, (31)

, -h < y < 0, (32)

, -? < y < -h (33)

 

Характер распределения поля, описываемого выражениями (31-33), изображен на рис.2.4.

 

Рис.2.4 Вид распределения поля в поперечном сечении волновода для различных волноводных мод

В волноводном режиме величина ? изменяется от n3 до n2, (n3 > n1, причем n2 > n3). Отсюда видно, что распределение поля в 1 среде довольно резко затухает на расстояниях порядка длины волны, если разница между n3 и n1 не слишком мала. Распределение поля в подложке также экспоненциально затухает, однако при ? > n3, т.е. когда режим волновода приближается к критическому, показатель экспоненты стремится к нулю. Распределение поля при этом вытягивается в подложку. Эффективную глубину проникновения пол в подложку можно определить из выражения (34) как глубину, на которой амплитуда напряженности поля уменьшается в e=2,7 раз по сравнению с амплитудой поля на границе слоев 2 и 3.

 

(34)

 

При порядка 10-4 эта величина составляет более десятка длин волн, что намного превышает саму толщину центрального волноводного слоя. При удалении от критического режима поле в подложке становится быстро затухающим. Так при =0,1 эффективная глубина проникновения составит уже долю длины волны.

Распределение поля в центральном слое - гармоническое, вида . Максимум этого распределения сдвинут в область отрицательных значений y (в область центрального слоя) на величину . Область значений y простирается от 0 до -h, величина изменяется от 0 до . Величину можно определить из дисперсионного уравнения как

 

.

Отсюда видно, что в случае низших мод (m=1), не превышает ? и, следовательно, на толщине слоя укладывается менее полупериода функции . Если же m=2, то на толщине слоя может укладываться от 0,5 до 1 периода функции , так как ? < ?h < 2? и так далее при произвольном m на толщине h укладывается без малого m пространственных полупериодов функции . Распределение поля высших мод в центральном слое оказывается знакопеременным и имеет m-1 переходов через 0 в пределах толщины слоя, как это показано на рис. 4.

 

4. Расчет электромагнитных полей

 

Построим зависимость коэффициента замедления от толщины волноводного слоя для трех низших ТЕ мод для заданных показателей преломления и длины волны

n1=1, n