Волны плоского оптического волновода
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
ис.2.1), образованный диэлектрической пленкой, однородной в плоскости пленки (в направлениях x и z). Структура волновода неоднородна в направлении y. Положим, что волны распространяются вдоль оси 0z. Тогда , т.к. в направлении x структура однородна, а волноводная мода распространяется по z (т.е. представляющие ее плоские волны распространяются в плоскости yz).
Рис.2.1 Схема плоского оптического волновода
Запишем уравнения Максвелла с учетом сказанного:
a
б (5)
в
а
б (6)
в
Подставим (6б) и (6в) в (5а). Получаем уравнение
(7)
Относительно Ex. Имеют место соотношения
(8)
Уравнения (7) и (8) полностью определяют электромагнитную волну с компонентами поля Ex, Hy и Hz. Остальные компоненты поля никак не связаны с Ex и их можно положить равными нулю. Такую волну называют ТЕ-волной. Действуя аналогичным образом и подставляя (5б) и (5в) в (6а), получим волновое уравнение относительно Hx, которое с учетом (5б) и (5в) полностью определяет волну с компонентами поля Hx, Ey, Ez, т.е. ТМ-волну. Т.о. система уравнений Максвелла (5), (6) имеет два независимых вида решений - ТЕ и ТМ-волны. Ограничимся в дальнейшем только волнами ТЕ-типа.
В результате подстановки (8) в (5) можно получить волновое уравнение для электрической компоненты поля:
Можно записать соотношения и , где , - относительная магнитная и диэлектрическая проницаемость; , - абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума, и ввести обозначения:
и при , , (9)
(10)
С учетом этих соотношений имеем
(11)
Это уравнение описывает распространение волн в оптической среде с показателем преломления n. Поскольку в данной задаче границы пленки являются плоскостями y=0 и y=-h, т.е. плоскостями, параллельными координатной плоскости y=0, переменные в уравнении (11) разделяются и его решение следует искать в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от y, а вторая только от z. Распределение амплитуды поля по координате x предполагается равномерным. Таким образом
(12)
После подстановки в (11) получим:
(13)
Или
. (14)
Поскольку левая и правая часть выражения (14) зависят от различных переменных, то равенство может соблюдаться только в том случае, когда каждая из частей равенства является константой. Пусть эта константа обозначена .
(15)
Уравнение (15) имеет решение вида
(16)
Приравнивая правую часть уравнения (14) , получим
(17)
Конкретный вид функции Y(y) определяется из уравнения (17) с учетом граничных условий и описывает распределение амплитуд и фаз в поперечном сечении волноводного слоя и прилегающих сред. Полный же вид решения определяется как произведение Y(y)Z(z) и с учетом временной зависимости ej?t имеет вид
.
Таким образом, решение имеет вид гармонической волны, распространяющейся вдоль оси 0z в положительном (знак - ) или в отрицательном (знак +) направлении и имеющей амплитудное распределение Y(y) в направлении y.
Итак, после разделения переменных мы можем искать распределение комплексных амплитуд поля ТЕ-волны в зависимости от координаты y исходя из уравнений:
для области 1:
(18)
для области 2:
(19)
для области 3:
(20)
Необходимо найти коэффициенты ci (i-номер области), которые удовлетворяют граничным условиям. Граничные условия представляют собой уравнения непрерывности касательных E и H составляющих компонент электромагнитного поля и для ТЕ-волн имеют вид:
, при y=0 (21)
, при y=-h (22)
Условия непрерывности H-составляющих на границах раздела эквивалентны условиям непрерывности производных от распределения E-составляющих поля на границах раздела слоев 1 и 2 и слоев 2 и 3. Рассматривая уравнения (16-18), можно заметить, что вид решения существенно зависит от соотношения между величиной коэффициента и величинами . Рассмотрим свойства решений, соответствующих разным областям значений . Характер возможных решений при различных иллюстрируется графиком на рис.2.2.
А. kz > k0n2.
При этом условии заведомо выполняются условия kz > k0n3 и kz > k0n1. Решение, соответствующее области А, физически неосуществимо.
B. k0n2 > kz > k0n3, k0n1.
Такой режим называется волноводным, а центральный слой 2 называют несущим слоем волновода.
С. K0n3 > kz > k0n1 и, очевидно, k0n2 > kz.
Такие моды называются излучательными модами подложки. Причем излучение происходит в среду с показателем n3, т.е. в подложку.
D. k0n1 > kz.
Такие моды также называются излучательными модами волновода. Излучение происходит в подложку и в среду над волноводом.
Основные результаты: в системе, состоящей из трех диэлектрических слоев с показателями преломления n1, n2, n3 при условии n2>n1, n2>n3 возможно распространение волны вдоль слоя 2, при этом распределение электромагнитного поля в поперечном сечении имеет максимальное значение внутри центрального слоя 2 и экспоненциально спадает при удалении от границ слоя 2 в направлении оси 0y (или - 0y). Волна с неоднородным распределением по координате y распространяется вдоль плоскости волновода и характеризуется постоянной распространения , при этом k0n3 < kz < k0n2.
Рис.2.2 Характер возможных решений уравнения при различных значениях константы kz.
Условие B соответс?/p>