Элементы топологии на уроках математики в школе
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Введение в топологию. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
2. Теорема Жордана о замкнутой кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
3. Проблема четырёх красок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
4. Фракталы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Самоподобные геометрические объекты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Что такое размерность? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
Как измерить размерность? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20
Фрактальная геометрия природы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
Список используемой литературы . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Дополнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Приложение 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25
ВВЕДЕНИЕ
В условиях развития новых технологий резко возрос спрос на людей, обладающих нестандартным мышлением, умеющих ставить и решать новые задачи. Поэтому так важно, чтобы в каждой школе проводилась внеклассная работа с учениками наиболее талантливыми. А топология как тема для факультативного курса или курса по выбору это наиболее успешная тема для развития нестандартного мышления в сознании учащихся.
В данной работе представлены материалы по теме наглядная топология, предназначенные для организации курса по выбору в классах с углубленным изучение математики. Изучение топологии способствует развитию пространственного воображения школьников, выработке абстрактного мышления.
При написании данной работы использовались следующие методы: анализировались учебники, научные журналы, научно-популярная литература, сборники нормативных документов, производился поиск и отбор материалов, посвящённых данной теме, проводилась их методическая обработка. Особенностью данной работы является рассмотрение вопросов, редко встречающихся в школьной практике.
Основное содержание работы изложено в трёх параграфах.
В первом параграфе рассказывается о топологии как науке: определяется, что является предметом топологии, даётся определение топологии, делается небольшой экскурс в историю топологии.
Второй параграф посвящён Жордановой кривой. Формулируется основное утверждение, проводится доказательство.
В третьем параграфе идёт обсуждение проблемы четырёх красок. Сообщается, что существует доказательство, что шести красок достаточно для правильной раскраски любой карты на плоскости или сфере. Приводится пример того, что необходимо как минимум четыре краски, чтобы раскрасить карту на плоскости или сфере и пока не найдено карты, для правильной раскраски которой не хватало бы четырёх красок. Сообщается, что пока фактического доказательства того, что любую карту можно правильно раскрасить четырьмя красками. Но существует доказательство утверждения о семи красках тора. Предлагается разрешить интересную головоломку.
В четвёртом параграфе идёт речь о фракталах. А именно происходит знакомство с самоподобными геометрическими объектами, даётся несколько вариантов определения размерности, рассказывается, как измерить размерность, знакомство с Фрактальной геометрией природы.
В приложении приводится решение головоломки предложенной в 3.
При написании работы были использованы книги, статьи научно-популярных журналов, сборник нормативных документов [1] [8].
1. Введение в топологию.
В середине ХIX столетия возникло совершенно новое течение в геометрии, которому было суждено вслед за тем стать одной из главных движущих сил современной математики. Предметом новой отрасли, называемой топологией (или analysis situs), является изучение свойств геометрических фигур, сохраняющихся даже тогда, когда эти фигуры подвергаются таким преобразованиям, которые уничтожают все их и метрические и проективные свойства.
Топологии удивительно трудно дать определение. Её описание значительно сложнее тех формулировок, которые предполагают признанные справочники и энциклопедии для арифметики (Наука о положительных вещественных числах Websters New Collegiate Dictionary или Искусство манипулировать с числовыми величинами и их отношениями Encyclopaedia Britannica) или геометрии (Изучение [математических] свойств пространства Encyclopaedia Britannica). [Марк Барр вообще определяет математику как нечто предназначенное держать факты в состоянии оцепенения, в то время как мы бесстрастно изучаем соотношение между ними, что особенно применимо к алгебре.]
Стартовав как раздел геометрии, топология быстро внедрилась и во многие другие области математики. Кажется почти правильным утверждение, что топология представляет собой особое состояние ума и преследует свои собственные цели.
Одним из великих геометров этой эпохи был А. Ф. Мёбиус (17901868), человек, не слишком преуспевший из-за своей скромности в научной карьере: он занимал должность астронома в одной из второразрядных немецких обсерваторий. В возрасте шестидесяти восьми лет он представил Парижской академии мемуар об односторонних поверхностях, содержащий кое-какие из наиболее изумительных фактов в новой отрасли геометрии. Подобно многим другим важным научным работам, его рукопись несколько лет несколько лет валялась на полках Академи