Элементы топологии на уроках математики в школе
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
и, пока обстоятельства не сложились так, что её опубликовал сам автор. Независимо от Мёбиуса гёттингинский астроном И. Листинг (18081882) сделал подобные же открытия и, под влиянием Гаусса, в 1847 г. Издал небольшую книгу Vorstudien zur Topologie. Когда Бернгард Риман (18261866) прибыл в Гёттинген, чтобы стать там студентом, математическая атмосфера этого университета этого города уже была насыщена острым любопытством по отношению к новым и старым геометрическим идеям. Скоро он осознал, что именно в них нужно искать разгадку самых глубоких свойств аналитических функций комплексного переменного. Позднейшее развитие топологии, вероятно, едва ли обязано чему-либо в такой степени, как великолепному зданию римановой теории функций, в которой топологические концепции имеют самое фундаментальное значение.
В некотором смысле слова топологии это наука, изучающая непрерывность: исходя из непрерывности пространства или форм, она переходит к обобщениям, которые затем по аналогии приводят к новому пониманию непрерывности, а обычное пространство, как мы себе его представляем, остаётся далеко позади. Истинные топологи избегают всяких картинок, испытывая к ним некоторое недоверие. Это вызвано тем, что невозможно (и бессмысленно!) изобразить занимающие их пространства. Однако нам будет легче подойти к пониманию их целей, к топологической точке зрения на определённые формы (или пространства), если мы начнём с того, что можно увидеть и потрогать.
Тополог интересуется теми свойствами предметов (трактуемых нами пока в геометрическом смысле), которые наиболее устойчивы, то есть которые выдерживают деформации сжатия и растяжения.
На первых порах своеобразия методов, которыми приходилось действовать в новой области, воспрепятствовало тому, чтобы полученные здесь результаты были изложены в традиционной дедуктивной форме, типичной для элементарной геометрии.
Хотя топологию можно с полной определённостью назвать продуктом двух последних столетий, необходимо всё же отметить, что ещё и раньше было сделано несколько открытий, которые, как вытекает из современной систематики математических знаний, имеют ближайшее отношение топологии. Из них самым крупным, несомненно, является установление формулы, связывающей числа вершин, рёбер, граней простого многогранника: она была подмечена уже Декартом в 1640г., позднее переоткрыта и использована Эйлером в 1752 году. Характерные черты топологического утверждения в этой формуле стали очевидными гораздо позднее после того как Пуанкаре в формуле Эйлера и её обобщениях усмотрел одну из центральных теорем топологии.
Так как при первых шагах в неизвестной области идеал безупречной строгости вовсе не обязателен и даже мало важен, то мы иногда будем без колебаний апеллировать непосредственно к интуиции учащихся.
2. Теорема Жордана о замкнутой кривой.
На плоскости нарисована простая замкнутая кривая (нигде сама себя не пересекающая). Посмотрим, какое свойство этой фигуры сохраняется неизменным даже в том случае, если плоскость будет подвергаться каким угодно деформациям, как будто бы она была сделана из тонкого слоя резины. Длина кривой или площадь ограниченной ею части плоскости при деформациях не сохраняется. Но у рассматриваемой конфигурации есть и топологическое свойство, столь простое, что может показаться тривиальным. Простая замкнутая кривая С на плоскости делит плоскость ровно на две области, внутреннюю и внешнюю. Точнее говоря, мы утверждаем следующее: точки плоскости разбиваются на два класса А (внешние точки) и В (внутренние точки) таким образом, что любая пара точек, принадлежащих одному и тому же классу, может быть связана кривой, не имеющей общих точек с С, тогда как всякая кривая, соединяющая две какие-нибудь точки разных классов, непременно пересекается с С. Это утверждение вполне очевидно, например, для случая окружности или эллипса, но уже чуть менее очевидно для такой сложной кривой, как причудливой формы многоугольник, изображенный на рис. 1.
Впервые эта теорема была сформулирована Камиллом Жорданом (1838 1922) в его широко известном Cours danalyse, из которого целое поколение математиков почерпнуло современную концепцию математической строгости. Как это ни странно, доказательство, данное самим Жорданом, не было ни кратким, ни простым по своей идее, но в особенности удивительно то, что, как оказалось, оно и не было вполне исчерпывающим, и понадобились значительные усилия, чтобы восполнить его пробелы. Первые строгие доказательства теоремы Жордана были очень сложными и трудно воспринимаемыми даже для людей с хорошей математической подготовкой. Сравнительно простые доказательства были придуманы лишь недавно. Одно из затруднений заключается в большой общности понятия простой замкнутой кривой, значительно более широкого, чем понятие многоугольника или гладкой кривой: по определению простая замкнутая кривая есть любая прямая, топологически эквивалентная окружности. С другой стороны, необходимо таким терминам, как внутри или вне (столь ясными интуитивно), дать логические определения, прежде чем строгое доказательство станет возможным. Проанализировать в их полной общности, возникающие в этой связи отношения и понятия есть теоретическая задача первостепенного значения, разрешению которой в большой степени служит современная топология. Но, с другой стороны, следует иметь в виду и, то обстоятельство, что, занимаясь изучением ко?/p>