Элементы топологии на уроках математики в школе
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
ий с Р уже не будет, и все такие точки будут принадлежать классу А, так что их чётность будет 0. Тогда уже придётся заключить, что точками внутренними будут точки класса В. Каким бы запутанным ни был замкнутый многоугольник Р, всегда очень легко узнать, расположена ли данная точка р внутри или вне его: достаточно из р провести луч и посчитать число его точек пересечения с Р. Если это число нечётное, значит, р сидит внутри и не сможет выбраться наружу, не пересекая Р. Но если это число чётное, то точка р вне многоугольника Р.
3. Проблема четырёх красок.
Среди ранних и глубоких достижений топологии есть ряд теорем, которые первоначально были сформулированы как проблемы и лишь затем доказаны. Некоторые из них, вроде уже упоминавшейся теоремы о жордановой кривой, быть может, потому так знамениты, что их наглядная очевидность столь явно контрастирует с трудностью доказательства.
Существует и ещё одна теорема, даже более знаменитая, чем выше названная, ибо прошло более ста лет, как она сформулирована, а доказательства до сих пор нет. В 1976 г. эта теорема была доказана с использованием ЭВМ [7] [8]. Она известна как проблема четырёх красок (формально, пока не получено доказательство, её нельзя назвать теоремой). В ней утверждается: чтобы правильно раскрасить любую карту, изображённую на односвязной поверхности вроде поверхности глобуса или этой страницы, необходимо только четыре краски.
Раскрашивая географическую карту, обыкновенно стараются распределить цвета, таким образом, между странами, чтобы две страны, имеющие общую границу, были окрашены по-разному. Было обнаружено на опыте, что любая карта, сколько бы ни было изображено на ней стран и как бы они ни были расположены, может быть раскрашена с соблюдением указанного правила не более чем четырьмя красками. Легко убедиться, что меньшее число достаточным для всех случаев не является. На рис. 5 изображён остров посреди моря, который никак нельзя раскрасить менее чем четырьмя красками, так как на нём имеется четыре страны, из которых каждая соприкасается с остальными тремя.
Разумеется, что на карте могут существовать точки, в которых сходится любое число областей (или стран), что ещё совсем не означает, что каждую из них необходимо закрасить своей краской. Шахматную доску можно, как обычно раскрасить только двумя красками, хотя на ней есть точки, где сходятся четыре клетки. Чтобы две страны было необходимо закрасить в разные цвета, надо чтобы у них был хот бы небольшой общий участок границы. Нам не требуется также все моря красить голубой краской или все британские владения розовой; мы обязаны лишь красить в разные цвета прилегающие страны. Никому не удалось построить карты, для которой потребовалось бы более четырёх красок, никому не удалось также доказать, что такой карты построить нельзя, хотя огромное количество учёных умов пытались это сделать. Было доказано, что пять областей нельзя расположить таким образом, чтобы каждая из них касалась всех остальных (доказательство, если проводить его абсолютно строго, оказывается хитрее, чем можно было бы предложить.) Однако отсюда ещё вовсе не следует справедливость общей теоремы о четырёх красках, хотя существование подобных пяти областей, конечно, опровергло бы эту теорему.
Тот факт, что до настоящего времени не было ни разу найдено такой карты, для раскрашивания которой потребовалось бы более четырёх красок, приводит к мысли о справедливости такой теоремы: При любом данном разбиении плоскости на области, не покрывающие друг друга ни полностью, ни частично, всегда возможно пометить их цифрами 1, 2, 3, 4 таким образом, чтобы прилежащие области были бы обозначены разными цифрами. Под прилежащими областями понимаются такие, которые имеют целый отрезок границы общим: две области, имеющие лишь одну общую точку(или даже конечное число общих точек), как например штаты Колорадо и Аризона, не будут называться прилежащими, так как никакого смешения или неудобства не возникает, если их раскрасить одинаково.
Можно начать чертить карту и раскрашивать её по мере построения, но не исключено, что мы зайдём в тупик и нам придётся вернуться назад и раскрашивать карту по-новому. Во всех экспериментах нам удаётся выпутаться из любого положения, но до сих пор не доказано, что это действительно возможно всегда.
Есть основание полагать, что впервые проблема четырёх красок была поставлена Мёбиусом в 1840г.; позднее её формулировали де Морган в 1850г. и Кэли в 1878г. Доказательство её было опубликовано в 1879г. Кемпе, но Хивуд в 1890г. нашёл ошибку в рассуждении Кемпе. Пересматривая доказательство Кемпе, Хивуд обнаружил, что пяти красок всегда достаточно. Несмотря на усилия многих выдающихся математиков, положение вплоть до нашего времени остаётся в сущности неизменным. Было доказано, что пяти красок достаточно для всех карт, и имеется предположение, что достаточно также четырёх. Но, как и в случае знаменитой теоремы Ферма, ни доказательства этого предположения, ни противоречащего ему примера приведено не было, и оно остаётся одной из больших нерешённых математических проблем. Заметим, между прочим, что проблема четырёх красок была решена в положительном смысле для частных случаев, когда число областей не превышает тридцати восьми. Отсюда ясно, что если в общем случае теорема неверна, то опровергающий пример должен быть не особенно простым.
Самое досадное, что доказана теорема, которая кажется гораздо более трудной: на торе