Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Міністерство освіти і науки України
Сумський Державний Університет
Кафедра Інформатики
Курсова робота
на тему:
Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь
Метод скінченних різниць
Суми 2006
Зміст
Вступ
Постановка задачі
Метод скінчених різниць
Дослідження точності
Збіжність різницевої схеми
Програмна реалізація(представлена на мові Delphi
Висновки
Література
Вступ
На сьогоднішній день існує багато чисельних методів розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Але всі вони поділяються на дві групи: наближені методи чисельного розвязання і наближені аналітичні методи.
Наближені чисельні методи:
1.Розвязання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші:
Припустимо, що розвязок задачі (11.4), (11.5) будемо шукати у вигляді
(11.6)
де - деяка константа, - функція, що задовольняє однорідне рівняння
(11.7)
а - функція, яка задовольняє неоднорідне рівняння
(11.8)
Через те, що рівняння (11.4) є лінійним, функція буде його розвязком для будь-якого . Справді,
Якщо припустити, що розвязок (11.6) задовольняє першу граничну умову (11.5) для будь-якого , то отримаємо рівняння
Ця гранична умова задовольняється, якщо покласти
(11.9)
(11.10)
Рівність (11.9) справедлива, коли прийняти, наприклад, що
, (11.11)
Щоб задовольнити рівність (11.10), можна покласти
, , якщо (11.12)
, , якщо (11.13)
Враховуємо, що одночасно і на нуль не перетворюються через умову (11.5).
Таким чином, для розвязання крайової задачі (11.4), (11.5) необхідно знайти розвязок задач
, , (11.14)
(11.15)
з початковими умовами (11.12) чи (11 13). Для цього можна використати будь-який чисельний метод розвязання задачі Коші для рівнянь другого порядку. Наближений розвязок цих рівнянь отримуємо на відрізку , у результаті чого стають відомими значення ,,,. Це дозволяє вибрати таку константу . щоб функція (11.6) задовольняла не тільки рівняння (11.12) і першу граничну умову, але і другу граничну умову (11.5). Маємо
,
звідки
,
якщо .(11.16)
Коли , то однорідна крайова задача
, ,
мас нетривіальний розвязок , який є ознакою виродженості початкової задачі (11.4), (11.5).
2. Метод прицілювання:
Викладений вище метод редукції крайової задачі до задачі Коші має певні недоліки.
Він не дозволяє використовувати методи розвязання задачі Коші зі змінним порядком і змінним кроком. Розвязки і повинні обчислюватись на сітці з однаковим кроком, інакше знайти їх комбінацію (11.6) буде неможливо.
Використання методу, як правило, обмежується лише одновимірною лінійною задачею. Причина полягає в тому, що під час розвязання системи рівнянь потрібно обчислювати не одне значення константи А (11.16), а матрицю А, що є далеко не простою задачею.
Метод не придатний для розвязання нелінійних крайових задач.
Ці недоліки спричинилися до появи нових методів. На практиці двоточкова крайова задача (лінійна чи нелінійна) звичайно розвязується методом прицілювання (стрільби), назва якого запозичена із теорії артилерійської стрільби. Відповідно до цього методу розвязок шуканого рівняння другого порядку
із заданими граничними умовами
, ,
знаходять у такий спосіб: ітераційним розвязанням задачі Коші
(11.18)
і
підбирається значення першої похідної , для якої виконується друга крайова умова .
Спочатку вибирається довільне значення і розвязується задача Коші (11.18). Значення бажано вибирати так, щоб наближений розвязок на кінці інтервалу задовольняв умову (рис 1.). Потім вибирається , і розвязання задачі Коші повторюється. Тепер бажано вибрати його так, щоб виконувалась умова (рис 1.).
рис. 1. Ілюстрація методу стрільби.
Після цього шляхом інтерполяції уточнюється значення для задач Коші з початковими умовами:
,
……..……..……..
де - наближений розвязок задачі Коші в точці для вибраного значення .
Метод прицілювання є універсальним і використовується для розвязання нелінійних диференціальних рівнянь -ого порядку. Слід зазначити, що довільний вибір початкового наближення може привести до того, що задача (11.18) виявиться жорсткою навіть у випадку, коли задача (11.1), (11.2) є добре обумовленою.
Наближені аналітичні методи:
3.Метод колокацій:
У методі колокацій розвязок крайової задачі (11.4), (11.5) шукається у вигляді функції
.(11.36)
де , - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку. Функція повинна задовольняти задані граничні умови (11.5):
(11.37,а)
а функції, - відповідні однорідні граничні умови, тобто
,
,
.(11.37,б)
Через лінійність граничних умов функція у (11.36) задовольняє граничним умовам (11.24) для будь-яких значень . Наприклад, у точці маємо
.
Аналогічно для отримаємо