Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
цією метою диференціюємо (11.61) і отримуємо:
(11.65)
Функція відмінна від нуля тільки на інтервалі . Крім того, на одному і тому ж інтервалі ненульовими є дві базисні функції і їх похідні з сусідніми індексами (рис. 3), тобто на інтервалі відмінні від нуля , , , і т. д.
рис. 3. Система фінітних функцій.
У виразі для (11.64) добутки , , можна вважати відмінними від нуля тому, що на елементарному інтервалі не дорівнюють нулю фінітні функції та їх похідні, які мають сусідні індекси у випадках, коли . А це означає, що
для ,(11.66)
тобто матриця системи (11.62) є тридіагональною матрицею. її ненульові елементи обчислюються таким чином. Формули для діагональних елементів отримаємо, приймаючи у виразі (11.64):
(11.67)
Для , отримаємо формули для елементів правої бічної діагоналі матриці :
,(11.68)
а для - лівої;
Три останні вирази визначають систему алгебраїчних рівнянь (11.62) для невідомих коефіцієнтів .
Розглянемо розвязання задачі (11.59) у випадку неоднорідних граничних умов
,(11.70)
і зведемо її до розвязання задачі з однорідними граничними умовами. Для цього введемо заміну:
, де .
Двічі диференціюючи цю функцію і підставляючи вирази для похідних у рівняння (11.59), отримаємо крайову задачу з однорідними граничними умовами:
,
, .(11.71)
Постановка задачі
Щоб знайти єдиний розвязок звичайного диференціального рівняння, необхідно задати деякі допоміжні умови, що використовуються для обчислення інтегрування. Для рівняння n-ого порядку потрібно п таких умов. Якщо ці умови задаються для одного значення незалежної змінної (зокрема, для одного кінця інтервалу, на якому необхідно знайти розвязок), то говорять про початкові умови для задачі Коші. Якщо ж додаткові умови задаються для значень незалежної змінної на різних кінцях інтервалу, то мають на увазі крайову задачу і граничні умови для неї.
Двоточкова крайова задача для рівняння другого порядку має такий вигляд:
(11.1)
із граничними умовами
(11.2)
Перш ніж застосовувати будь-який чисельний метод, варто перевірити умови, що гарантують існування розвязку цієї задачі. Наведена нижче теорема визначає загальні умови, що забезпечують існування й одиничність розвязку.
Теорема. Припустимо, що неперервна в області
І що
і
Теж неперервні на. Якщо існує постійна, для якої виконуються умови
для всіх
для всіх (11.3)
то крайова задача (11.1) (11.2) має єдиний розвязок для .
Найчастіше зустрічаються і найкраще вивчені двоточкові лінійні крайові задачі виду
, (11.4)
, (11.5)
де
,
Умови, які повинні задовольняти функції , і , для того щоб задача (11.4), (11.5) мала єдиний розвязок, випливають із теореми як наслідок.
Наслідок. Якщо і неперервні на і , то задача (11.4), (11.5) має єдиний розвязок на .
Граничні умови (11.5) визначають третю крайову задачу для рівняння (11.4). Якщо припустити, що , то умови (11.5) визначають першу крайову задачу, а коли - другу.
Точне (аналітичне) розвязання крайових задач - більш складна процедура, ніж знаходження розвязку задачі Коші. Це спричинило появу великої кількості наближених методів. Ці методи можна розділити на дві групи: наближено-аналітичні методи, що дають наближений розвязок крайової задачі на відрізку у вигляді конкретної аналітичної функції, і чисельні методи, що визначають розвозок у вигляді табличної функції, заданої на сітці відрізка .
Метод скінченних різниць
Ідея методу скінченних різниць полягає в тому, що похідні в диференціальному рівнянні (11.4) і граничних умовах (11.5) заміняються їх скінченними різницями. Для цього спочатку введемо на відрізку сітку з кроком :
.
Позначимо через точний розвязок задачі (11.1) у і-му вузлі сітки, а через - наближений розвязок у цій точці. Заміняючи в кожному внутрішньому вузлі сітки похідні різницями, отримаємо різницеві рівняння:
,
Симетричні різницеві апроксимації похідних першого і другого порядків мають похибку другого порядку відносно , тобто . Це легко довести на основі розкладання в ряд Тейлора точного розвязку рівняння. Дійсно, для вузлів та маємо
з різниці яких отримуємо шуканий результат:
,
(11.21)
Знайдемо невязку різницевого рівняння
.
Оскільки є точним розвязком рівняння (11.4),
та .(11.22)
Тому різницеве рівняння (11.21) апроксимує вихідне диференціальне рівняння
(11.4) також із другим порядком відносно .
Тепер апроксимуємо граничні умови скінченними різницями:
, (11.23)
Знайдемо похибку апроксимації граничних умов. Невязки граничних умов (11.23) мають вигляд:
, .
Асиметрична апроксимація першої похідної на відміну від симетричної має глобальну похибку першого порядку відносно , тобто . Це безпосередньо випливає з розкладання в ряд Тейлора
,
із якого отримуємо
,
Отже, граничні умови (11.23) апроксимуються з першим порядком за к. Порядок їх апроксимації можна підвищити до другого, наприклад, використовуючи співвідношення
,(11.24)
похибка апроксимації яких також пропорційн?/p>