Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
p>
Суть методу колокацій полягає в тому, що для заданих точок на відрізку , названих вузлами колокації, підбирають значення так, щоб отримана при цьому функція (11.36) задовольняла рівняння (11.4) у кожному з вузлів колокації:
,(11.38)
де
, .
Покладемо
,(11.39)
тоді (11.39) матиме стандартний вигляд системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
, (11.40)
відносно коефіцієнтів . Якщо розвязати цю систему і підставити отримані значення коефіцієнтів у вираз (11.36), отримаємо наближений розвязок .
Точність розвязку крайової задачі методом колокацій залежить від типу базисних функцій . У конкретних задачах вибір цих функцій слід здійснювати з урахуванням апріорної інформації про розвязки задачі або на основі емпіричних даних. Нехай - це лінійна функція
,(11.41)
параметри якої визначимо таким чином, щоб вона задовольняла неоднорідні граничні умови (11.5), тобто з системи рівнянь
,
.(11.42)
Функції можна задати у вигляді:
, .(11.43)
Очевидно, що за будь-яких функція (11.43) задовольняє умову (11.37, а). Значення , за якого буде задовольнятися друга умова (11.37, б), таке:
.(11.44)
Якщо в умовах (11.37, а, б) , то можливий інший вибір, а саме:
,
.(11.45)
4.Метод Гальоркіна
Як і в методі колокацій, у методі Гальоркіна наближений розвязок крайової задачі (11.4), (11.5) шукаємо у вигляді
(11.48)
де , - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку . Функція повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції , - відповідні однорідні граничні умови (11.37, 6).
Необхідно, щоб система базисних функцій , була ортогональною на відрізку , тобто
при і ,
і повною. Остання вимога означає, що не повинно існувати ніякої іншої відмінної від нуля функції, яка ортогональна до всіх функцій , .
Використовуючи наближений розвязок (11.48) знайдемо невязку:
(11.49)
Коефіцієнти мають бути такими, щоб значення інтеграла від квадрата невязки
було найменшим.
Це досягається лише в тому випадку, коли невязка ортогональна до всіх базисних функцій . Умову ортогональності запишемо у вигляді:
,
або
, (11.50)
Таким чином, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для обчислення коефіцієнтів
5.Метод найменших квадратів
У методі найменших квадратів наближений розвязок крайової задачі (11.4) і (11.5) задасться у вигляді:
,(11.54)
де , - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку . Функція повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції , - відповідні однорідні граничні умови (11.38, б).
Підставимо наближений розвязок (11.54) у рівняння (11.4) і знайдемо невязку:
,(11.55)
абсолютна величина якої для повинна бути якомога меншою. Тому вимагатимемо, щоб виконувалася умова
(11.56)
Значення інтегралу будуть мінімальними за умов:
,
,
,
…………
.
На основі цих умов формується система лінійних рівнянь для обчислення коефіцієнтів .
6.Метод скінченних елементів
Метод Гальоркіна накладає певні обмеження на вибір системи базисних функцій, які залежать від граничних умов крайової задачі. Це обмеження значно ускладнює реалізацію методу, особливо під час розвязання задач математичної фізики. Це обмеження можна подолати, якщо для апроксимації розвязку використовувати систему простих базисних функцій, які залежать від координат вузлів на відрізку . У цьому випадку розвязання крайової задачі зводиться до формування і розвязання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, тому метод отримав назву методу скінченних елементів. Його часто використовують для розвязання дво- та тривимірних диференціальних рівнянь із частинними похідними.
Шукатимемо наближений розвязок задачі
, (11.59)
як лінійну комбінацію простих однотипних функцій
,(11.60)
що мають вигляд
(11.61)
і, як правило, називаються фінітними. Графік однієї з таких функцій наведено на рис. 2, де видно, що функція не дорівнює нулю тільки на інтервалі . Щодо множини фінітних функцій, які задаються на відрізку відомо, що вони лінійно незалежні (більш того, ортогональні в спеціальній енергетичній нормі) і утворюють повну систему в просторі .Це дає підставу використати їх як базисні функції в методі Гальоркіна.
рис. 2. Графік фінітної функції.
Запишемо умову ортогональності (11.50):
, (11.62)
і отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих .Праві частини цих рівнянь позначимо через і отримаємо для їх обчислення вираз
(11.63)
Коефіцієнти системи рівнянь (11.62) позначимо через
Знайдемо вирази для коефіцієнтів системи рівнянь з невідомими . Підставляючи в останній вираз , отримаємо
Перший з інтегралів у цьому виразі обчислимо по частинах:
Оскільки за граничних умов (11.60) використовуються , базисних функцій від до і всі вони в точках і дорівнюють 0, то
Тоді вираз для обчислення набуває вигляду:
(11.64)
Для обчислення треба знайти значення похідних від фінітних функцій. Із