Цилiндр
Информация - Разное
Другие материалы по предмету Разное
?с його основи. Висота - вiдстань мiж площинами його основ. Вiсь - пряма, що проходить через центри основ. Вона параллельна твiрним. Перетин ц. площиною, що проходить через вiсь ц. - осьовий перетин. Теорема 19.1. Площина, перпендикулярна осi цилiндра, перетинаСФ його бiчну поверхню по колу, рiвному колу основи.
Доказ. Нехай - площина, перпендикулярна осi цилiндра. Ця площина || основам. Паралельне перенесення у напрямi осi цилiндра, що сумiщаСФ площину з площиною основи цилiндра, сумiщаСФ перетин з площиною i з колом основи.
У прямому цилiндрi: вiсь = висота = твiрна
2. Простi властивостi цилiндра:
1.Основи рiвнi i паралельнi (з опр.).
2.Створюючi рiвнi i паралельнi (з властивостей паралельного перенесення, по властивостi паралельних площин).
Дiйсно, будь-яке такий перетин СФ загальним двох цилiндрiв, на якi сiчна площина розбиваСФ даний цилiндр. Тому воно рiвне iншим основам цих цилiндрiв, якi СФ основами початкового цилiндра.
Перпендикуляр, опущений з будь-якоi площини однiСФi основи цилiндра на площину iншоi його основи, називаСФться висотою цилiндра (iнакше довжина створюючоi). Оскiльки площини основ паралельнi, то перпендикуляри у них загальне i всi вони рiвнi. Тому висоту можна проводити з будь-якоi точки площини основи.
Для того, щоб задати цилiндр, досить задати його поснову i одну створюючих. Для цього достатньо, щоб яка те твiрна була перпендикулярно площини пiдстави, оскiльки решта створюючих паралельна iй i теж будуть перпендикулярнi до площини пiдстави. Цилiндру можна дати i iнше визначення.
Цилiндр можна визначити як фiгуру, утворену рiвними i паралельними один одному вiдрiзками, що йдуть зi всiх точок деякоi плоскоi фiгури F в один бiк вiд ii площини ?.
3. Перетини
Осьовий перетин.
4. Цилiндр обертання
Прямим круговим цилiндром називаСФться прямий цилiндр, основа якого круг. Вiдрiзок, що сполучаСФ центри його основ, називаСФться вiссю цилiндра. Вiсь прямого кругового цилiндра СФ його вiссю обертання, а сам вiн фiгура обертання. Всi перетини прямого кругового цилiндра площинами, паралельними площинам основ, СФ кругами з центрами на осi (по властивостi 3). Площини цих кругiв перпендикулярнi осi.
Тому прямий круговий цилiндр СФ фiгурою обертання i його називають цилiндром обертання. Вiн виходить обертанням прямокутника навколо сторони. Цi прямокутники називаються осьовими перетинами цилiндра обертання. Створюючi цилiндра обертання, витiкаючi з точок кола пiдстави, утворюють його бiчну поверхню.
Поверхня цилiндра обертання називаСФться обСФднання його пiдстав i бiчноi поверхнi цилiндра. Поверхню цилiндра обертання iнодi називають його повною поверхнею, пiдкреслюючи цим, що вона складаСФться з бiчноi поверхнi i двох пiдстав. Цилiндр обертання симетричний щодо будь-якоi площини, що проходить через його вiсь, а також щодо площини, що дiлить навпiл його створюючi. Цилiндр обертання маСФ центр симетрii середину його осi.
5. Елiпс як перетин цилiндра обертання.
Просту криву поверхню, саме круговий цилiндр, можна отримати за допомогою простих кривих кола i прямоi таким чином. Через одну з точок кола проведемо пряму, перпендикулярну до площини круга, i перемiщатимемо ii паралельною самiй собi уздовж всього кола. Можна також отримати круговий цилiндр, примусивши одну пряму обертатися навколо iншоi прямоi, що паралельноi першоi i служить для першою прямою вiссю обертання. Таким чином, круговий цилiндр СФ поверхня обертання. Поверхнi обертання представляють важливий тип поверхонь; вони зустрiчаються в практичному ужитку у виглядi стаканiв, пляшок i т.д. Всi вони можуть бути охарактеризованi тим, що iх можна отримати шляхом обертання деякоi плоскоi кривоi навколо осi, лежачоi в ii площинi.
Площина, перпендикулярна до осi, перетинаСФ круговий цилiндр по колу; площина, похила до осi, даСФ в перетинi, як в цьому можна безпосередньо переконатися, еллiпсовiдную криву. Покажемо, що ця крива дiйсна елiпс. Для цього вiзьмемо кулю такого дiаметру, щоб вiн в точностi вiдповiдав внутрiшностi цилiндра, i пересуватимемо цю кулю усерединi цилiндра до зiткнення з сiчною площиною.
Поверхня, яка в деякiй декартовiй системi координат задаСФться рiвнянням
(13.18)називаСФться елiптичним цилiндром, поверхня, яка задаСФться рiвнянням
(13.19)називаСФться гiперболiчним цилiндром, а яка задаСФться рiвнянням
(13.20)називаСФться параболiчним цилiндром.
Для того, щоб побудувати поверхню, що задаСФться рiвнянням (13.18), або рiвнянням (13.19), або (13.20), досить намалювати на площинi що направляСФ, рiвняння якоi на цiй площинi спiвпадаСФ з рiвнянням самоi поверхнi. Потiм через крапки що направляСФ провести створюючi паралельно осi . Для наочностi слiд побудувати також одне - два перетини площинами, паралельними площинi . У кожному такому перетинi отримаСФмо таку ж криву, як i що початкова направляСФ. Зображення цих цилiндрiв перетинами приведенi на малюнках 13.27, 13.29 i 13.31.
Мал.13.27.Зображення елiптичного цилiндра за допомогою перетинiв
Мал.13.29.Зображення гiперболiчного цилiндра за допомогою перетинiв
Мал.13.31.Зображення параболiчного цилiндра за допомогою перетинiв
6. ОбСФм цилiндра
Теорема: обСФм цилiндра дорiвнюСФ добутку основи на висоту.
Доказ: Впишемо в даний цилiндр Р радiусу r i висоти h правильну призму Fn, а в цю призму впишемо цилiндр Pn. Позначивши через V i Vn обСФми цилiндрiв P i Pn, через rn радiуiилiндра Pn. Оскiльки обСФм призми Fn, рiвний Snh, де Sn площа пiдстави пр?/p>