Тригонометрические функции
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
Углы и их измерение
Пусть даны два совпадающих луча - подвижный и - неподвижный. И пусть луч поворачиваясь в плоскости вокруг точки , совершит некоторый поворот. Такой поворот, при котором луч впервые опять совпадет с лучом , называется полным оборотом.
Пусть луч совершил некоторый поворот, тогда говорят, что он задает угол , соответствующий этому повороту. Другим определением угла является геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, которая называется вершиной угла. Луч носит название начала отсчета и обычно направлен горизонтально вправо.
Для измерения углов применяют две меры.
Градусная мера угла
Поворот, равный полного оборота против часовой стрелки задает угол в один градус
Различают также следующие доли градуса: 1 минута = 1 = 1/60 градуса; 1 секунда = 1 = 1/60 минуты = 1/3600 градуса.
Угол, равный 180о или половине полного оборота называют развернутым, равный 90о или четверти полного оборота - прямым.
Радианная мера угла
Рассмотрим два луча - подвижный и - неподвижный. Выберем на них точки и , которые в начальный момент времени совпадают. При повороте точка будет описывать окружность радиуса . Повернем подвижный луч так, чтобы точка прошла расстояние, равное радиусу: , тогда луч составит с лучом угол в один радиан.
Если повернуть подвижный луч так, чтобы точка прошла расстояние , тогда луч составит с лучом угол в радиан.
При совершение полного оборота точка проходит расстояние, равное длине окружности , значит полный оборот соответствует углу радиан.
Из вышесказанного нетрудно установить, что радиан соответствует 180о. Таким образом
и
Соответствие между углами и числовым рядом
Радианная мера угла позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством углов и рядом действительных чисел. Это возможно, поскольку с одной стороны - это число, равное 3,14… с другой стороны это угол, соответствующий 180о. Таким образом, нетрудно установить взаимооднозначное соответствие между углами от 0 до 360о и действительными числами от 0 до . Для того, чтобы понять, как поставить в соответствие углы числам, превышающим , следует вспомнить, что совершив полный оборот подвижный луч возвращается в исходное положение, т.е. любым углам, различающимся на или кратное им будет соответствовать одно и то же взаимное положение подвижного или неподвижного лучей. Отрицательные же углы соответствуют повороту подвижного луча против часовой стрелки. Таким образом, любое действительное число представляет собой радианную меру какого-либо угла и наоборот, любому углу можно поставить в соответствие действительное число.
Тригонометрические функции
Определения
Определения тригонометрическим функциям даются с помощью тригонометрической окружности, под которой понимается окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Рассмотрим два радиуса этой окружности: неподвижный (где точка ) и подвижный (где точка ). Пусть подвижный радиус образует с неподвижным угол .
Число, равное ординате конца единичного радиуса, образующего угол с неподвижным радиусом , называется синусом угла : .
Число, равное абсциссе конца единичного радиуса, образующего угол с неподвижным радиусом , называется косинусом угла : .
Таким образом, точка , являющаяся концом подвижного радиуса, образующего угол , имеет координаты .
Тангенсом угла называется отношение синуса этого угла к его косинусу
, , .
Котангенсом угла называется отношение косинуса этого угла к его синусу
, ,
Геометрический смысл тригонометрических функций
Геометрический смысл синуса и косинуса на тригонометрической окружности понятен из определения: это абсцисса и ординат точки пересечения подвижного радиуса, составляющего угол с неподвижным радиусом, и тригонометрической окружности. То есть , .
Рассмотрим теперь геометрический смысл тангенса и котангенса.
Треугольники подобен по трем углам (, ), тогда имеет место отношение . С другой стороны, в , следовательно .
Также подобен по трем углам (, ), тогда имеет место отношение . С другой стороны, в , следовательно .
С учетом геометрического смысла тангенса и котангенса вводят понятие оси тангенсов и оси котангенсов.
Осями тангенсов называются оси, одна из которых касается тригонометрической окружности в точке и направлена вверх, вторая касается окружности в точке и направлена вниз.
Осями котангенсов называются оси, одна из которых касается тригонометрической окружности в точке и направлена вправо, вторая касается окружности в точке и направлена влево.
Свойства тригонометрических функций
Рассмотрим некоторые основные свойства тригонометрических функций. Остальные свойства будут рассмотрены в разделе, посвященном графикам тригонометрических функций.
Область определения и область значений
Как уже было сказано ранее, синус и косинус существуют для любых углов, т.е. областью определения этих функций является множество действительных чисел.
По определению тангенс не существует для углов , , а котангенс для углов , .
Поскольку синус и косинус являются ординатой и абсциссой точки на тригонометрической окружности, их значения лежат