Тригонометрические функции
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
в промежутке . Областью значения тангенса и котангенса является множество действительных чисел (в этом нетрудно убедиться, глядя на оси тангенсов и котангенсов).
Четность/нечетность
Рассмотрим тригонометрические функции двух углов (который соответствует подвижному радиусу ) и (который соответствует подвижному радиусу ). Поскольку , значит точка имеет координаты . Поэтому , т.е. синус - функция нечетная; , т.е. косинус - функция четная; , т.е. тангенс нечетен; , т.е. котангенс также нечетен.
Промежутки знакопостоянства
Знаки тригонометрических функций для различных координатных четвертей следуют из определения этих функций. Следует отметить, что поскольку тангенс и котангенс являются отношениями синуса и косинуса, они положительны, когда синус и косинус угла имеют одинаковые знаки и отрицательны когда разные.
синускосинустангенс, котангенс
Периодичность
Периодичность синуса и косинуса основана на том факте, что углы, отличающиеся на целое количество полных оборотов, соответствуют одному и тому же взаимному расположению подвижного и неподвижного лучей. Соответственно и координаты точки пересечения подвижного луча и тригонометрической окружности будут одинаковы для углов, отличающихся на целое количество полных оборотов. Таким образом, периодом синуса и косинуса является и
,
где .
Очевидно, что также является периодом для тангенса и котангенса. Но существует ли меньший период для этих функций? Докажем, что наименьшим периодом для тангенса и котангенса является .
Рассмотрим два угла и . Оп геометрическому смыслу тангенса и котангенса , , , . По стороне и прилежащим к ней углам равны треугольники и , значит равны и их стороны, значит и . Аналогичным образом можно доказать, то , , где . Таким образом, периодом тангенса и котангенса является .
Тригонометрические функции основных углов
Формулы тригонометрии
Для успешного решения тригонометрических задач необходимо владеть многочисленными тригонометрическими формулами. Тем не менее, нет необходимости заучивать все формулы. Знать наизусть нужно лишь самые основные, а остальные формулы нужно уметь при необходимости вывести.
Основное тригонометрическое тождество и следствия из него
Все тригонометрические функции произвольного угла связаны между собой, т.е. зная одну функции всегда можно найти остальные. Эту связь дают формулы, рассматриваемые в данном разделе.
Теорема 1 (Основное тригонометрическое тождество). Для любого справедливо тождество
Доказательство состоит в применении теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами , и гипотенузой .
Справедлива и более общая теорема.
Теорема 2. Для того, чтобы два числа можно было принять за косинус и синус одного и того же вещественного угла , необходимо и достаточно, чтобы сумма их квадратов была равна единице:
Рассмотрим следствия из основного тригонометрического тождества.
Выразим синус через косинус и косинус через синус:
В данный формулах знак плюс или минус перед корнем выбирается в зависимости от четверти, в которой лежит угол.
Подставляя полученные выше формулы в формулы, определяющие тангенс и котангенс, получаем:
при , ,
при , .
Разделив основное тригонометрическое тождество почленно на или получим соотвественно:
при , ,
при , .
Эти соотношения можно переписать в виде:
при , ,
при , ,
при , ,
при , .
Следующие формулы дают связь между тангенсом и котангенсом. Поскольку при , а при , то имеет место равенство:
, ,
Формулы приведения
С помощью формул приведения можно выразить значения тригонометрических функций произвольных углов через значения функций острого угла. Все формулы приведения могут быть обобщены с помощью следующего правила.
Любая тригонометрическая функция угла , по абсолютной величине равна той же функции угла , если число - четное, и ко-функции угла , если число - нечетное. При этом если функция угла , положительна, когда - острый положительный угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.
Формулы суммы и разность углов
Теорема 3. Для любых вещественных и справедливы следующие формулы:
,
.
Доказательство остальных формул основано на формулах приведения и четности/нечетности тригонометрических функций.
Что и требовалось доказать.
Теорема 4. Для любых вещественных и , таких, что
. , , , , справедливы следующие формулы
,
2. , , , , справедливы следующие формулы
.
Доказательство. По определению тангенса
Последнее преобразование получено делением числителя и знаменателя этой дроби на .
Аналогично для котангенса (числитель и знаменатель в этом случае делятся на ):
Что и требовалось доказать.
Следует обратить внимание на тот факт, что правые и левые части последних равенств имеют разные области допустимых значений. Поэтому применение этих формул без ограничений на возможные значения углов может привести к неверным результатам.
Формулы двойного и половинного угла
Формулы двойного угл?/p>