Тригонометрические функции
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
° позволяют выразить тригонометрические функции произвольного угла через функции угла в два раза меньше исходного. Эти формулы являются следствиями формул суммы двух углов, если положить в них углы равными друг другу.
угол тождество тригонометрический функция
Последнюю формулу можно преобразовать с помощью основного тригонометрического тождества:
или
Таким образом, для косинуса двойного угла существует три формулы:
Следует отметить, что данная формула справедлива только при
и ,
Последняя формула справедлива при , .
Аналогично функциям двойного угла могут быть получены функции тройного угла. Здесь данные формулы приводятся без доказательства:
,
,
,
.
Формулы половинного угла являются следствиями формул двойного угла и позволяют выразить тригонометрические функции некоторого угла через функции угла в два раза больше исходного.
Произведем следующие преобразования:
,
и выразим через :
Аналогичные преобразования произведем для
,
.
Последние две формулы носят названия формул понижения степени.
Выведем формулу для :
.
Аналогично
.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Эта группа формул позволяет выражать значения всех тригонометрических функций через тангенс половинного угла. Данные формулы часто используются при решении уравнений и произведении преобразований. Для того, чтобы выразить через воспользуемся ранее выведенной формулой:
,
,
,
при , .
Далее используя формулу и только что выведенное соотношение для косинуса получим зависимость между и :
последняя формула также имеет смысл при , .
Формулы для тангенса и котангенса получаются при помощи формул двойного угла:
при , , ,
при , .
Формулы произведения тригонометрических функций
Данная группа формул является следствием формул суммы и разности двух углов.
Теорема 5. Для любых вещественных и справедливы следующие соотношения:
,
.
Доказательство. Запишем формулы косинуса и синуса суммы и разности для углов и :
Произведем следующие преобразования:
((1)-(2))/2:
((1)+(2))/2:
((3)+(4))/2:
Что и требовалось доказать.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Эти формулы также являются следствием формул суммы и разности двух углов.
Для получения формул суммы и разности функций заметим, что любые углы и можно представить следующим образом:
,
Найдем сумму синусов двух произвольных углов и
Найдем разность синусов двух произвольных углов и :
Найдем сумму косинусов двух произвольных углов и :
Найдем разность косинусов двух произвольных углов и
Найдем сумму и разность тангенсов двух углов и , таких что
, , :
Найдем сумму и разность котангенсов двух углов и , таких что , , :
Формула дополнительного (вспомогательного) аргумента
Рассмотрим выражение вида
в котором числа и не равны нулю одновременно. Домножим и поделим каждое из слагаемых на и вынесем общий множитель за скобки:
Нетрудно проверить, что
,
а значит по Теореме 2 существует такой вещественный угол , что
и .
Таким образом, используя формулу синуса суммы, получаем
Формула
где такой угол, что и , носит название формулы вспомогательного аргумента и используется при решении неоднородных линейных уравнений и неравенств.
Обратные тригонометрические функции
Определения
До сих пор мы решали задачу определения тригонометрических функций заданных углов. А что если стоит обратная задача: зная какую-либо тригонометрическую функцию определить соответствующий ей угол.
Арксинус
Рассмотрим выражение , где - известное вещественное число. По определению синуса это есть ордината точки пересечения луча, образующего угол с осью абсцисс и тригонометрической окружности. Таким образом, для решения уравнения надо найти точки пересечения прямой и тригонометрической окружности.
Очевидно, что при прямая и окружность не имеют общих точек, а значит и уравнение не имеет решений. То есть нельзя найти угол, синус которого был бы по модулю больше 1.
При прямая и окружность имеют точки пересечения, например, и (см. рис.). Таким образом, заданный синус будут иметь , и все углы, отличающиеся от них на целое количество полных оборотов, т.е. , , - бесконечное множество углов. Как выбрать один угол среди этого бесконечного множества?
Чтобы однозначно определить угол , соответствующий числу , приходится требовать выполнения дополнительного условия: этот угол должен принадлежать отрезку . Такой угол называют арксинусом числа .
Арксинусом действительного числа называется действительное число , синус которого равен . Такое число обозначают .
Арккосинус