Тригонометрические уравнения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
о приходят к одному из так называемых простейших тригонометрических уравнений вида:
sin x = a x = b
tg x = c x = d
где a, b, c, d - числа. a - угол, содержащийся в промежутке от - ?/2 до ?/2, синус которого равен a. b - угол, содержащийся в промежутке от 0 до ?, косинус которого равен b. c - угол, содержащийся в промежутке от - ?/2 до ?/2, тангенс которого равен c. d - угол, содержащийся в промежутке от 0 до ?, котангенс которого равен d.
Решение произвольного тригонометрического уравнения, как правило, сводится к решению одного или нескольких простейших уравнений. Одной из основных идей решения является идея, общая для всех типов уравнений,- переход от одного уравнения к уравнению-следствию или равносильному уравнению (или их системе либо совокупности), от него к следующему и т. д., пока не придем к простейшим уравнениям, из которых получаем решение исходного уравнения. При переходе используются как общие методы (пригодные для любого типа уравнений), так и частные, основанные на использовании формул тождественных преобразований тригонометрических выражений.
.6 Рекомендации по решению тригонометрических уравнений
1.Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.
2.Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.
.Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.
.Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения. Например,
5.Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.
6.Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.
.Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:
8.Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:
тригонометрия функция уравнение
ГЛАВА II. Методы решения тригонометрических уравнений
2.1 Алгебраический метод
Этот метод нам хорошо известен из алгебры (метод замены переменной и подстановки).
Пример 1. Решить уравнение
2.2 Разложение на множители
Приводим уравнение к виду f(x)=0 и представляем левую часть уравнения в виде произведения f1(x)*f2(x)*...* fm(x). Тогда данное уравнение приводится к совокупности уравнений: f1(x)=0, f2(x)=0,..., fm(x)=0. Следует помнить, что эта совокупность не всегда равносильна исходному уравнению и что здесь надо руководствоваться правилом: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а все остальные при этом имеют смысл.
Этот метод рассмотрим на примерах.
Пример 2. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Решение. Перенесём все члены уравнения влево:
x + cos x - 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
1) . sin() = 0, 2). cos() - sin() = 0,
= , tg() = 1,
= 2 = arctg 1 + ,
= ,
Пример 3. Решить уравнение: cos 2 x + sin x cos x = 1.
Решение.
cos 2 x + sin x cos x - sin 2 x - cos 2 x = 0 ,x cos x - sin 2 x = 0 ,x ( cos x - sin x ) = 0 ,
Пример 4. Решить уравнение: cos 2x - cos 8x + cos 6x = 1.
Решение.
cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
cos 4x cos 2x = 2 cos 4x ,4x ( cos 2x - cos 4x ) = 0 ,4x 2 sin 3x sin x = 0 ,4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
.3 Приведение к однородному уравнению
Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg .
Пример 5. Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2.
Решение.
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0 ,2 x + 4 tg x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y1=1, y2=3, отсюда
1) tg x = -1, 2) tg x = -3,
.4 Переход к половинному углу
Рассмотрим этот метод на примере:
Пример 6. Решить уравнение: 3 sin x - 5 cos x = 7.
Решение.
6 sin ( x / 2 ) cos ( x / 2 ) - 5 cos ( x / 2 ) + 5 sin ( x / 2 ) =
= 7 sin ( x / 2 ) + 7 cos ( x / 2 ) ,
sin ( x / 2 ) - 6 sin ( x / 2 ) cos ( x / 2 ) + 12 cos ( x / 2 ) = 0 ,
tg ( x / 2 ) - 3 tg ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
.5 Введение вспомогательного угла
Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c,
где a, b, c - коэффициенты; x - неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так наз?/p>