Тригонометрические уравнения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
соответствовало единственное значение функции).
.3 Формирование понятия тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения - обязательная тема любого экзамена по математике. Основные приемы их решения - замена переменной и разложение на множители. Для успешного решения тригонометрических уравнений нужно хорошо знать тригонометрические формулы, причем не только основные, но и дополнительные (преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму, формулы понижения степени и другие).
Разумеется, вы должны четко знать стандартные формулы корней простейших тригонометрических уравнений (полезно помнить или уметь получать с помощью тригонометрической окружности упрощенные формулы для корней уравнений
Определение 1. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.
Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида
.
В таких уравнениях переменная находится под знаком тригонометрической функции, а - данное число.
Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Вот эти формулы:
Частные случаи
При решении тригонометрических уравнений все задачи сводятся к тому, чтобы привести к такому виду, чтобы слева стояла элементарная тригонометрическая функция, а справа - число. После того, как это будет достигнуто, следует найти значение аргумента функции, используя одну из основных формул выражения аргумента через обратные тригонометрические функции.
.4 Основные понятия и формулы тригонометрии
В тригонометрии угол рассматривается как мера вращения, при котором один луч, вращаясь вокруг вершины угла, переходит в положение другого луча. При этом первый луч называют начальной стороной угла, а конечное положение второго (подвижного) луча называют конечной стороной угла.
Угол считается положительным, если переход от его начальной стороны к конечной совершается вращением подвижного луча против часовой стрелки, и отрицательным, если такой переход совершается вращением по часовой стрелке.
Единичный круг - круг с центром в начале координат и радиусом, равным по длине единице. Окружность этого круга называется единичной окружностью.
Координатные оси делят единичный круг и его окружность на четыре равные части, которые называются четвертями, или квадрантами.
Синус - отношение ординаты конца подвижного радиуса к длине этого радиуса.
Косинус - отношение абсциссы конца подвижного радиуса к длине этого радиуса.
Тангенс - отношение ординаты конца подвижного радиуса к его абсциссе.
Котангенс - отношение абсциссы конца подвижного радиуса к его ординате.
Секанс - отношение длины подвижного радиуса к абсциссе его конца.
Косеканс - отношение длины подвижного радиуса к ординате его конца.
Линия тангенсов - касательная к единичной окружности в конце горизонтального диаметра.
Линия котангенсов - касательная к единичной окружности в конце вертикального диаметра.
Синус и косинус угла равны соответственно ординате и абсциссе конца подвижного радиуса единичной окружности.
Если продолжить единичный радиус до пересечения с линией тангенсов, то тангенс угла равен ординате соответствующей точки на линии котангенсов.
Если продолжить единичный радиус до пересечения с линией котангенсов, то котангенс угла равен абсциссе соответствующей точки на линии котангенсов.
Основные тригонометрические тождества
2 ? + cos 2 ? = 1
Тождественные преобразования тригонометрических выражений
Функция y = f (x) называется четной, если значение y не изменяется при замене x на -x, т.е. функция y = f (x) называется четной, если f (-x) = f (x)
Функции cos ?, sec ?, - четные функции, а sin ?, tg ?, ctg ? cosec ? - нечетные.
Теоремы сложения: позволяют, зная значения тригонометрических функций двух аргументов ? и ?, вычислять значения тригонометрических функций от суммы (? + ?) и разности (? - ?) этих аргументов.
Формулы сложения
sin (? + ?) = sin ? • cos ? + cos ? • sin ? (? - ?) = sin ? • cos ? - cos ? • sin ? (? + ?) = cos ? • cos ? - sin ? • sin ? (? - ?) = cos ? • cos ? + sin ? • sin ?
Формулы приведения
Формулы, при помощи которых тригонометрические функции произвольного угла можно выразить через тригонометрические функции острого угла, называются формулами приведения.
Формулы удвоения и деления аргумента
sin 2? = 2 sin ? • cos ?
cos 2? = cos 2 ? - sin 2 ?
2 cos 2? = 1 + cos 2 ?
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
2 cos ? • cos ? = cos (? - ?) + cos (? + ?)
sin ? • sin ? = cos (? - ?) - cos (? + ?)
sin ? • cos ? = sin (? + ?) + sin (? - ?)
.5 Решение тригонометрических уравнений
Поскольку каждому значению тригонометрической функции соответствует неограниченное множество углов, то тригонометрическое уравнение, если не сделано каких-либо оговорок, имеет бесчисленное множество решений.
Самый общий метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, что различные тригонометрические функции, входящие в уравнение, выражают через какую-нибудь одну из них и, принимая функцию за неизвестное, решают полученное алгебраическое уравнение, в результате чег