Теория подобия
Информация - Разное
Другие материалы по предмету Разное
Вµнным является обращение к экспериментальному исследованию на моделях с последующим перераiетом полученных результатов на натуру, которая явилась прототипом модели. При этом модель и натура должны находиться между собой в отношениях подобия.
Исследование на моделях позволяет ускорить или замедлить процессы, которые в натурных условиях развиваются со скоростью, затрудняющих вести наблюдение. При проведении эксперимента непосредственно на натуре почти всегда приходится отказываться от активного поиска оптимальных конструктивных решений, ибо это связано со значительными денежными затратами, а не редко и просто не возможно.
Теория моделирования базируется на принципах, вытекающих из теории подобия. Эти принципы заключаются в соблюдении условий, которые определяют соотношения между параметрами модели и натуры, а так же правила переiета исследуемых величин с модели на натуру и обратно. Однако, известно, что ни одна модель не может с абсолютной полнотой воспроизвести изучаемый оригинал для этого должно быть полное их тождество. Поэтому при моделировании стараются соблюсти в модели по крайней мере те характеристики натуры, которые являются наиболее существенными в общей картине физического процесса, обеспечивая заданную точность результатов (например при раiете стержневых конструкций пренебрегают собственным весом, а при проектировании плотины насыпи рассматривают как распределенную нагрузку).
- Методы подобия в механике.
Движение математического маятника
В качестве первого примера мы рассмотрим классический пример о движении математического маятника.
Математический маятник (рис. 1) представляет собой тяжелую материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, которая закреплена другим своим концом неподвижно. Совокупность возможных движений мы ограничим условием, что движения маятника плоские.
Рис. 1. Математический маятник.
Введем обозначения: l длина маятника, ? угол между нитью и вертикалью, t время, m масса груза и N натяжение нити. Если пренебречь силами сопротивления, то задача о движении маятника приводится к решению уравнений
,(1)
(2)
с начальным условием
при t=0 ?=?0 и ,
т. е. за начальный момент времени принят тот момент, когда маятник отклонен на угол ?0, а скорость равна нулю.
Из уравнений (1), (2) и начального условия очевидно, что в качестве определяющих параметров можно взять следующую систему:
t, l, g, m, ?0.
Числовые значения всех остальных величин определяются полностью значениями этих параметров. Следовательно, мы можем написать
? = ? (t, ?0, l, g, m), N=mgf(t, ?0, l, g, m)(3)
где ? и f безразмерные величины.
Числовые значения функций ? и f не должны зависеть от системы единиц измерения. Вид этих функций можно определить либо решая уравнения (1) и (2), либо экспериментальным способом.
Из общих соображений, изложенных выше, вытекает, что пять аргументов функций ? и f можно свести только к двум аргументам, которые представляют собой безразмерные комбинации, составленные из t, l, g, m и ?0, так как имеются три независимые единицы измерения.
Из величин t, l, g, m и ?0 можно составить две независимые безразмерные комбинации
?0 и (4)
Все другие безразмерные комбинации, составленные из t, l, g, m и ?0 или вообще из любых величин, определяемых этими параметрами, будут функциями комбинаций (4). Следовательно, можно написать
,(5)
. (5")
Формулы (5), полученные с помощью метода размерности, показывают, что закон движения не зависит от массы груза, а натяжение нити прямо пропорционально массе груза. Эти выводы вытекают также непосредственно из уравнений (1) и (2). Величину можно рассматривать как время, выраженное в специальной системе единиц измерения, в которой длина маятника и ускорение силы тяжести приняты равными единице.
Обозначим через Г какой-нибудь характерный промежуток времени, например время движения маятника между крайним и вертикальным положениями или между двумя одинаковыми фазами, т. е. период колебания, и т. д. (существование периодического движения можно принять как гипотезу или как результат, известный из дополнительных данных). Имеем
функция f2 представляет собой безразмерную величину, а так как из l, g и m нельзя составить безразмерную комбинацию, то очевидно, что функция f2 не зависит от l, g и m. Следовательно,
(6)
Формула (6) устанавливает зависимость времени Г от длины маятника. Получить вид функции f2(?0) с помощью теории размерности нельзя. Определение f2(?0) необходимо произвести либо теоретически, на основании уравнения (1), либо экспериментально.
Формулу (6) можно получить непосредственно из соотношений (5). В самом деле, для периода колебаний соотношение (5) дает
.
Решая это уравнение, получим формулу (6).
Если Г есть период колебания, то из соображений симметрии очевидно, что период Г не зависит от знака ?0, т. е.
f2(?0)= f2(-?0).
Следовательно, функция f2 является четной функцией аргумента ?0. Предполагая, что при малых ?0 функция f2(?0) регулярна, можно написать
f2(?0) = c1 + c2?02 + с3?04 +тАж (7)
Для малых колебаний члены со степенями ?02 и выше можно отбросить, и для периода Г мы получаем формулу
. (8)
Решение уравнения (1) показывает, что с1 = 2?. Таким образом, мы видим, что для малых колебаний маятника с помощью теории размерности можно получить формулу периода колебания маятника с точностью до постоянного множ