Теория вероятностей
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Федеральное агентство по образованию
Новосибирский государственный университет экономики и управления
Кафедра управления
Курсовая работа
по дисциплине: Математика
На тему: Теория вероятностей
Новосибирск
2010
Задание 1
теория вероятность математическое ожидание дисперсия
Вариант 7 ;
Из 8 сотрудников отдела коммерческого банка, среди которых трое мужчин, а остальные женщины, случайным образом формируется комиссия из трех человек. Найти вероятность того, что в комиссии:
a) будет только одна женщина;
b) будут две женщины;
с) будет не менее двух женщин;
d) будет хотя бы одна женщина;
e) будут лица одного пола.
Решение
Обозначим:
событие - первый выбранный в комиссию сотрудник женщина;
событие - первый выбранный в комиссию сотрудник мужчина;
событие - второй выбранный в комиссию сотрудник женщина;
событие - второй выбранный в комиссию сотрудник мужчина;
событие - третий выбранный в комиссию сотрудник женщина;
событие - третий выбранный в комиссию сотрудник мужчина.
События , , , , , - зависимые.
а) Вероятность того, что в комиссии будет только одна женщина:
.
b) Вероятность того, что в комиссии будут две женщины:
.
с) Вероятность того, что в комиссии будет не менее двух женщин:
.
Ранее найдена вероятность .
.
.
d) Вероятность того, что в комиссии будет хотя бы одна женщина:
.
е) Вероятность того, что в комиссии будут лица одного пола:
.
Выше найдено:
, .
.
Ответ: а) ; b) ; с) ; d) ; е) .
Задание 2
В партии из 102 металлических конструкций 42 изготовлены на первом заводе, 32 - на втором, а остальные - на третьем. Известно, что первый завод производит в среднем 92 % стандартной продукции, второй - 82 %, третий - 87 %. Для контроля качества из всех имеющихся металлических конструкций наугад берут два.
. Определить вероятность того, что по крайней мере одна из проверяемых конструкций будет иметь брак.
. Обе проверяемые конструкции оказались стандартными. На каких заводах вероятнее всего они изготовлены?
Решение
Обозначим:
событие - обе проверяемые конструкции стандартные;
событие - по крайней мере одна из проверяемых конструкций имеет брак;
событие - обе проверяемые конструкции изготовлены на первом заводе;
событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на первом заводе, а вторая - на втором;
событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на первом заводе, а вторая - на третьем;
событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на втором заводе, а вторая - на первом;
событие - обе проверяемые конструкции изготовлены на втором заводе;
событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на втором заводе, а вторая - на третьем;
событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на третьем заводе, а вторая - на первом;
событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на третьем заводе, а вторая - на втором;
событие - обе проверяемые конструкции изготовлены на третьем заводе.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
; ; ;
; ; ;
; ; .
Условные вероятности:
;;
;;
;;
;;
.
События , , …, попарно несовместны и образуют полную группу, проверим:
.
. По формуле полной вероятности:
.
Тогда искомая вероятность:
.
. Обе проверяемые конструкции оказались стандартными, т.е. событие произошло. На каких заводах вероятнее всего они изготовлены? По формуле Байеса найдем вероятности всех девяти рассматриваемых случаев:
,
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Самая большая вероятность из полученных . Таким образом, если обе проверяемые конструкции оказались стандартными, вероятнее всего, они обе изготовлены на первом заводе.
Задание 3
По статистическим данным в городе N в среднем 87 % новорожденных доживают до 50 лет.
. Какова вероятность того, что из 7 новорожденных в одном из роддомов города N до 50 лет не доживет:
а) ровно 5;
b) более 5;
с) менее 5;
d) хотя бы один ребенок?
. Вычислить вероятность того, что из ста новорожденных города N до 50 лет доживет:
а) 84;
b) не менее 84;
с) не более 90;
d) не менее 82, но не более 92 детей.
Решение
. Обозначим: событие - новорожденный не доживет до 50 лет. По условию задачи
.
тогда
.
Число новорожденных , поэтому применим формулу Бернулли:
.
а) Найдем вероятность того, что из 7 новорожденных до 50 лет не доживет ровно 5:
.
.
b) Найдем вероятность того, что из 7 новорожденных до 50 лет не доживет более 5:
, т.е. , .
.
;
;
.
с) Найдем вероятность того, что из 7 новорожденных до 50 лет не доживет менее 5.
.
.
d) Найдем вероятность того, что из 7 новорожденных до 50 лет не доживет хотя бы один ребенок:
.
. Обозначим: событие - новорожденный доживет до 50 лет.
.
тогда
.
Число новорожденных , поэтому пользуемся приближенными формулами Лапласа.
а) Найдем вероятность того, что из ста новорожденных до 50 лет доживет 84:
.
По локальной формуле Лапласа:
, где .
.
Учитывая четность функции , находим
.
.
b) Найдем вероят