Теория вероятностей
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ность того, что из ста новорожденных до 50 лет доживет не менее 84.
или .
По интегральной формуле Лапласа:
,
где ; .
;
.
.
с) Найдем вероятность того, что из ста новорожденных до 50 лет доживет не более 90.
или .
;
.
.
d) Найдем вероятность того, что из ста новорожденных до 50 лет доживет не менее 82, но не более 92.
.
;
.
.
Ответ: 1) а) ; b) ; с) ; d) ; 2) а) ; b) ; с) ; d) .
Задание 4
Студент знает 22 вопроса из имеющихся 32 вопросов программы некоторой учебной дисциплины. На экзамене ему предлагается три наугад выбранных вопроса из программы. Рассматривается случайная величина (с.в.) - количество известных студенту вопросов среди заданных.
. Составить ряд распределения с.в. и представить его графически.
. Найти функцию распределения с.в. и построить ее график.
. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) , дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение .
. Определить вероятности:
а) ;
b) ;
с) .
Решение
. Найдем вероятности количества известных студенту вопросов среди заданных.
Студент не знает ни одного вопроса из заданных:
.
Студент знает один вопрос из трех заданных:
.
Студент знает два вопроса из трех заданных:
.
Студент знает все три заданных вопроса:
.
Получаем ряд распределения с.в. .
01230,02420,19960,46570,3105
Отметим, что:
.
Представим ряд распределения графически:
2. Найдем функцию распределения с.в. .
.
Построим график функции распределения.
. Математическое ожидание:
.
Дисперсию рассчитаем по формуле:
.
;
.
Среднее квадратическое отклонение:
.
. Определим вероятности: а) ; b) ; с) .
а) .
Вероятность попадания с.в. в интервал равна приращению функции на этом интервале.
.
b) .
Согласно следствию из неравенства Чебышева:
;
.
с) .
Согласно следствию из неравенства Чебышева:
.
Если , то
.
Ответ. ; ; ; ; ; .
Задание 5
Время (в тыс. часах) до выхода из строя авиационного двигателя, выработавшего гарантийный ресурс в 4 тыс. часов является случайным с плотностью распределения
.
. Установить неизвестную постоянную и построить график функции .
. Найти функцию распределения с.в. и построить ее график.
. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) , дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение .
. Во сколько раз число выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока меньше среднего превышает число выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока больше среднего?
Решение
. Для того, чтобы была плотностью вероятности некоторой случайной величины . она должна быть неотрицательна, т.е. , или , откуда , и она должна удовлетворять свойству:
.
Следовательно.
,
откуда
.
Плотность распределения примет вид:
.
Построим график функции .
. Найдем функцию распределения с.в. по формуле:
.
Если , то
.
Если , то
.
Получаем функцию распределения с.в. :
.
Построим график функции распределения с.в. .
. Математическое ожидание случайной величины рассчитаем по формуле:
,
.
. Дисперсию вычислим по формуле:
.
.
.
Среднее квадратическое отклонение:
.
. Вероятность выхода из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока больше среднего найдем, используя функцию распределения:
.
Вероятность получения результата меньше среднего значения:
.
Тогда число выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока меньше среднего превышает число выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока больше среднего в
раза.
Задание 6
При помощи дальномера произведено 25 измерений расстояния до некоторого объекта. Получены следующие результаты (в км):
11,24411,46811,38311,59411,45711,54811,90211,86711,60511,27511,83311,06811,62811,37411,50311,54811,62811,76511,94711,54811,54811,43411,56011,61711,651
Необходимо:
. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).
. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.
. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.
. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
. Используя критерий согласия хи-квадрат Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п. 3 закону распределения при уровне значимости 0,01.
. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.
. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:
а) генеральной средней значению 9,12;
б) генеральной дисперсии значению 1,6245.
Решение
. Исследуемый признак - расстояние до некоторого объекта - имеет конечное счетное множество значений, значит исследуемый признак дискретный.
Проранжируем признак в порядке возрастания и сгруппируем:
11,0 - 11,211,2 - 11,411,4 - 11,611,6 - 11,811,8 - 12,0141064
Заметим, что
.
. Вычислим относительные частоты для каждого ча?/p>